Esboce os seguintes campos vetoriais
F(x, y)=y i+x j

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o campo vetorial
F(x,y)=y,i+x,j,
que associa a cada ponto (x,y) no plano o vetor com componentes (y,x). Para desenhar esse campo é útil calcular em pontos e retas especiais, observar magnitudes e simetrias.

Passo 2

Em qualquer ponto (x,y) temos
F(x,y) = (y,x),
ou seja, a componente horizontal é y e a vertical é x. A magnitude do vetor é
|F(x,y)| = raizy^2 + x^2 = raizx^2+y^2,
que cresce com a distância à origem.

Passo 3

Análise nos eixos coordenados:
  • Sobre o eixo x ( y=0): F(x,0) = (0,x), vetores verticais apontando para cima se x>0 e para baixo se x<0.
  • Sobre o eixo y ( x=0): F(0,y) = (y,0), vetores horizontais apontando para a direita se y>0 e para a esquerda se y<0.

Passo 4

Análise nas retas y=x e y=-x:
  • Se y=x, então F(x,x) = (x,x), vetores de direção 45^circ (NE para x>0, SW para x<0), com magnitude raiz2,lvert xrvert.
  • Se y=-x, então F(x,-x) = (-x,x), vetores de direção 135^circ para x>0 (NW) e 315^circ para x<0 (SE).

Passo 5

Alguns pontos típicos no primeiro quadrante:
  • Em (1,2), F(1,2)=(2,1), vetor levemente mais horizontal, magnitude raiz5.
  • Em (2,1), F(2,1)=(1,2), vetor levemente mais vertical, mesma magnitude raiz5.
    Isso mostra que, em geral, F(x,y) troca as componentes de (x,y), refletindo a direção em torno da reta y=x.

Passo 6

Com todos esses pontos e retas notáveis, o esboço mostra vetores que:
  1. Crescem de intensidade à medida que estamos mais longe da origem.
  2. São verticais sobre o eixo x e horizontais sobre o eixo y.
  3. São simétricos em relação à reta y=x, pois F troca x e y.
  4. Nas retas y=pm x apontam exatamente para pm45^circ ou pm135^circ.

Resposta

O esboço é um padrão radial-refletido em que, em cada ponto (x,y), o vetor aponta na direção (y,x), com magnitude raizx^2+y^2. Sobre o eixo x são verticais, sobre o eixo y horizontais, e o campo é simétrico em relação à reta y=x.

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