Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
Esboce o gráfico da solução obtida.
Passo 1
O enunciado é um problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo necessário é: método do polinômio característico para EDOs de ordem 2 e ajuste das constantes pela condição inicial.
Passo 2
Formamos a equação característica associada
Suas raízes são
Logo a solução geral é
Passo 3
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Em :
Em
Derivando
:
Em
:
Passo 4
A solução particular fica
Podemos reescrever em forma harmônica
. Calculamos
logo
A frequência angular é
e o período
Passo 5
Para esboçar o gráfico note que:
- Amplitude máxima
. - Em
, e , ou seja, parte subindo. - Primeiro máximo em
, isto é
- Primeiro zero em
, ou
- Primeiro mínimo em
, ou
- E completa-se o ciclo em
.
Resposta
A solução é
que oscila senoidalmente com amplitude
, período
, iniciando em
e subida inicial (
). O esboço é uma onda cosenoidal deslocada, com os marcos calculados acima.