Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
u^prime prime+3 u=0, u(0)=1, u^prime(0)=3
Esboce o gráfico da solução obtida.

Passo 1

O enunciado é um problema de valor inicial para a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
u'' + 3,u = 0, u(0)=1,;u'(0)=3
O conteúdo necessário é: método do polinômio característico para EDOs de ordem 2 e ajuste das constantes pela condição inicial.

Passo 2

Formamos a equação característica associada
r^2 + 3 = 0
Suas raízes são
r = pm iraiz3
Logo a solução geral é
u(t) = Acosl(raiz3,tr) + Bsinl(raiz3,tr)

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais para determinar A e B.
Em t=0:
u(0)=A = 1
Derivando u(t):
u'(t) = -Araiz3,sinl(raiz3,tr) + Braiz3,cosl(raiz3,tr)
Em t=0:
u'(0)=Braiz3 = 3 ;Longrightarrow; B = 3raiz3 = raiz3

Passo 4

A solução particular fica
u(t) = cosl(raiz3,tr) + raiz3,sinl(raiz3,tr)
Podemos reescrever em forma harmônica Rcos(omega t - de<a). Calculamos
R = raiz1^2 + (raiz3)^2 = 2, de<a = arctan!l(tfracraiz31r)=tfracpi3,
logo
u(t) = 2cos!l(raiz3,t - tfracpi3r)
A frequência angular é omega=raiz3 e o período
T = 2piomega = 2piraiz3

Passo 5

Para esboçar o gráfico note que:
  • Amplitude máxima 2.
  • Em t=0, u(0)=1 e u'(0)>0, ou seja, parte subindo.
  • Primeiro máximo em raiz3,t-tfracpi3=0, isto é
t = pi3raiz3approx0,605, umax=2
  • Primeiro zero em raiz3,t-tfracpi3=tfracpi2, ou
t = 5pi6raiz3approx1,51
  • Primeiro mínimo em raiz3,t-tfracpi3=pi, ou
t=4pi3raiz3approx2,42, umin=-2
  • E completa-se o ciclo em t=T=2pi/raiz3approx3,63.

Resposta

A solução é
u(t)=2cos!l(raiz3,t - tfracpi3r),
que oscila senoidalmente com amplitude 2, período T=2pi/raiz3, iniciando em u(0)=1 e subida inicial ( u'(0)>0). O esboço é uma onda cosenoidal deslocada, com os marcos calculados acima.

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