Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
u^prime prime+3 u=0, u(0)=1, u^prime(0)=3
Encontre a solução da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período;

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial que modela um oscilador massa-mola sem amortecimento:
u'' + 3,u = 0, u(0)=1, u'(0)=3
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada:
r^2 + 3 = 0
logo
r = pm iraiz3
Isto implica que a solução geral da EDO é
u(t) = C1cosl(raiz3,tr) + C2sinl(raiz3,tr)

Passo 3

Calculamos a derivada
u'(t) = -C1,raiz3,sinl(raiz3,tr) + C2,raiz3,cosl(raiz3,tr)
Aplicando u(0)=1
C1 = 1,
e aplicando u'(0)=3
C2,raiz3 = 3 Longrightarrow C2 = 3raiz3 = raiz3

Passo 4

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular:
u(t) = cosl(raiz3,tr) + raiz3,sinl(raiz3,tr)

Passo 5

Para identificar amplitude e fase, escrevemos
u(t) = Acosl(raiz3,t - varphir)
Comparando com C1cos(omega t)+C2sin(omega t), temos omega=raiz3,
A = raizC1^2 + C2^2 = raiz1 + 3 = 2,
e a fase varphi satisfaz
cosvarphi = C1A = tfrac12, sinvarphi = C2A = raiz32,
logo varphi = pi3

Passo 6

O período do movimento é
T = 2piomega = 2piraiz3,
e a frequência (ciclos por unidade de tempo) é
f = 1T = raiz32pi

Resposta

A solução do problema de valor inicial é
u(t) = cosl(raiz3,tr) + raiz3,sinl(raiz3,tr) = 2cosl(raiz3,t - tfracpi3r)
Amplitude A = 2, frequência angular omega = raiz3, fase varphi = tfracpi3, frequência f = dfracraiz32pi e período T = dfrac2piraiz3.

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