Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
Encontre a solução da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude, a frequência, a fase e o período;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial que modela um oscilador massa-mola sem amortecimento:
O conteúdo aqui é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar a equação característica.
Passo 2
Escrevendo a equação característica associada:
logo
Isto implica que a solução geral da EDO é
Passo 3
Calculamos a derivada
Aplicando
dá
e aplicando
dá
Passo 4
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular:
Passo 5
Para identificar amplitude e fase, escrevemos
Comparando com
, temos
,
e a fase
satisfaz
logo
Passo 6
O período do movimento é
e a frequência (ciclos por unidade de tempo) é
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
Amplitude
, frequência angular
, fase
, frequência
e período
.