Seja (
) uma sequência infinita tal que
. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado trata de mostrar que, se
é uma sequência com
então a série
converge e seu somatório vale
.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica e usar a definição de convergência de séries via limites de somas parciais.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica e usar a definição de convergência de séries via limites de somas parciais.
Passo 2
Seja
a soma parcial dos
primeiros termos da série:
Note que, ao expandir, a maioria dos termos se cancelam em cascata (telescópica):
Passo 3
Para concluir, usamos que a série converge se e somente se a sequência de somas parciais
converge. Como
, temos
Logo a série converge e seu valor é
.