Seja ( an) uma sequência infinita tal que lim n +infty an=L. Mostre que sumn=1^+infty(an-an+1)=a1-L.

Passo 1

O enunciado trata de mostrar que, se (an) é uma sequência com
limnto+inftyan=L,
então a série
sumn=1^+inftyl(an-an+1r)
converge e seu somatório vale a1-L.
O conteúdo principal aqui é reconhecer que essa é uma série telescópica e usar a definição de convergência de séries via limites de somas parciais.

Passo 2

Seja SN a soma parcial dos N primeiros termos da série:
SN =sumn=1^Nl(an-an+1r)
Note que, ao expandir, a maioria dos termos se cancelam em cascata (telescópica):
SN &=(a1-a2)+(a2-a3)+cdots+(aN-aN+1) &=a1;-;a2+a2;-;a3+cdots+aN;-;aN+1 &=a1-aN+1

Passo 3

Para concluir, usamos que a série converge se e somente se a sequência de somas parciais SN converge. Como limNto+inftyaN+1=L, temos
limNto+inftySN =limNto+inftyl(a1-aN+1r) =a1-L
Logo a série converge e seu valor é a1-L.

Resposta

sumn=1^+inftyl(an-an+1r)=a1-L

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