Exercício 16. (Apostol, capítulo 7.12, exercícios 1 a 5, 8 a 10) Calcule e^t A nos seguintes casos:
A=(cc0 & 1 -1 & 0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a exponencial de matriz
e^tA=sumk=0^inftyt^kk!A^k
no caso
A=0 & 1-1 & 0
O conteúdo usado será a definição de e^tA por série de potências e o cálculo das potências de A.

Passo 2

Vamos calcular A^2. Multiplicando
Acdot A =0 & 1-1 & 0 0 & 1-1 & 0 =-1 & 00 & -1 =-I
Logo, por indução, para todo n>=1 vale
A^2n =(-1)^nI, A^2n+1=Acdot A^2n=(-1)^nA

Passo 3

Da definição de exponencial, separamos a soma em termos pares e ímpares:
e^tA =sumk=0^inftyt^kk!A^k =sumn=0^inftyt^2n(2n)!A^2n +sumn=0^inftyt^2n+1(2n+1)!A^2n+1
Usando o resultado do passo anterior,
sumn=0^inftyt^2n(2n)!A^2n =sumn=0^inftyt^2n(2n)!(-1)^nI,
sumn=0^inftyt^2n+1(2n+1)!A^2n+1 =sumn=0^inftyt^2n+1(2n+1)!(-1)^nA

Passo 4

Reconhecemos as séries de Taylor de cosseno e seno:
sumn=0^infty(-1)^nt^2n(2n)!=cos t, sumn=0^infty(-1)^nt^2n+1(2n+1)!=sin t

Passo 5

Portanto
e^tA =cos t;I+sin t;A =cos t1&00&1 +sin t0&1-1&0 =cos t & sin t[6pt]-sin t & cos t ]

Resposta

e^tA =cos t & sin t[6pt]-sin t & cos t ]

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