Esboce, em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das seguintes funções.
8. h(x, y)=1-raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede o esboço, em coordenadas cartesianas (x,y,z), da superfície definida por
z = h(x,y) = 1 - raizx^2 + y^2
O conteúdo aqui é “gráficos de funções de duas variáveis” e vamos usar as coordenadas cilíndricas e o estudo de curvas de nível e seções planas para entender o formato da superfície.

Passo 2

Introduzimos coordenadas cilíndricas:
r = raizx^2+y^2, theta = arctan!l(y/xr)
Então a função fica
z = 1 - r,
independente de theta. Isso mostra que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo z.

Passo 3

Analisamos as curvas de nível z = z0 (paralelas ao plano xy). Para cada constante z0 vale
z0 = 1 - r Longrightarrow r = 1 - z0
Como r>=0, z0<=1. Portanto para cada z0<=1 temos um círculo de raio 1 - z0 no plano z=z0.

Passo 4

Examinamos uma seção reta, por exemplo no plano y=0. Aí r=|x| e
z = 1 - |x|,
que é formado por duas retas com coeficiente angular -1, encontrando-se em x=0 no ponto (0,0,1).

Passo 5

Juntando tudo, a superfície é um cone circular reto invertido, com vértice em (0,0,1) e geratrizes caindo com inclinação de 45^circ em relação ao plano xy. Para esboçar:
  • Desenhe o eixo z vertical e o plano xy horizontal.
  • Marque o vértice em (0,0,1).
  • A cada nível z0<=1 desenhe um círculo de raio 1-z0.
  • No perfil y=0 desenhe duas retas que saem de (0,0,1) inclinadas de 45^circ.

Resposta

A superfície é o cone circular reto invertido dado por
z = 1 - raizx^2 + y^2,
com vértice em (0,0,1) e abertura de 45^circ em relação ao plano xy.

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