Esboce, em um sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das seguintes funções.
8.
.
8.
Passo 1
O enunciado pede o esboço, em coordenadas cartesianas
, da superfície definida por
O conteúdo aqui é “gráficos de funções de duas variáveis” e vamos usar as coordenadas cilíndricas e o estudo de curvas de nível e seções planas para entender o formato da superfície.
Passo 2
Introduzimos coordenadas cilíndricas:
Então a função fica
independente de
. Isso mostra que a superfície é invariante por rotações em torno do eixo
.
Passo 3
Analisamos as curvas de nível
(paralelas ao plano
). Para cada constante
vale
Como
,
. Portanto para cada
temos um círculo de raio
no plano
.
Passo 4
Examinamos uma seção reta, por exemplo no plano
. Aí
e
que é formado por duas retas com coeficiente angular
, encontrando-se em
no ponto
.
Passo 5
Juntando tudo, a superfície é um cone circular reto invertido, com vértice em
e geratrizes caindo com inclinação de
em relação ao plano
. Para esboçar:
- Desenhe o eixo
vertical e o plano horizontal. - Marque o vértice em
. - A cada nível
desenhe um círculo de raio . - No perfil
desenhe duas retas que saem de inclinadas de .
Resposta
A superfície é o cone circular reto invertido dado por
com vértice em
e abertura de
em relação ao plano
.