Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
integral-pi / 2^pi / 2 integral0^2 integral0^2 r d z d r d theta

Passo 1

O enunciado pede para esboçar e calcular o volume do sólido cuja expressão em coordenadas cilíndricas é
integral-pi/2^pi/2integral0^2integral0^2r,dz,dr,dtheta
O conteúdo é cálculo de volume usando integrais em coordenadas cilíndricas, integrando primeiro em z, depois em r e por fim em theta.

Passo 2

Os limites
thetain[-pi/2,pi/2],
rin[0,2] e
zin[0,2]
definem um semicírculo de raio 2 no plano xy (ângulos de -90^circ a +90^circ) estendido ao longo de z de 0 a 2. É, portanto, um semicílindro de raio 2 e altura 2.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integral0^2r,dz = rl[zr]0^2 = 2r

Passo 4

Agora integramos em r:
integral0^22r,dr = 2cdot r^22|0^2 = 2cdot 2 = 4

Passo 5

Finalmente, integramos em theta:
integral-pi/2^pi/24,dtheta = 4l[thetar]-pi/2^pi/2 = 4cdot pi = 4pi

Passo 6

O volume do semicílindro de raio 2 e altura 2 é
4pi

Resposta

4pi

Exercícios relacionados