Use o método de separação de varíaveis para resolver cada uma das equaçe abaixo:
d yd x=x-e^-xy+e^y, Resp: y^2-x^2+2(e^y-e^-x)=c ; y+e^y neq 0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
dydx=x-e^-xy+e^y,
que é separável. Vamos usar o método de separação de variáveis: isolar todos os termos em y de um lado e todos os termos em x de outro para depois integrar cada lado.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (y+e^y),dx para obter
(y+e^y),dy = (x - e^-x),dx

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
integral (y+e^y),dy = integral (x - e^-x),dx
No lado esquerdo,
integral y,dy = y^22, integral e^y,dy = e^y,
então
integral (y+e^y),dy = y^22 + e^y
No lado direito,
integral x,dx = x^22, integral (-e^-x),dx = e^-x,
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integral (x - e^-x),dx = x^22 + e^-x

Passo 4

Igualando as primitivas e somando uma constante C, temos
y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C
Multiplicando tudo por 2 e reorganizando,
y^2 - x^2 + 2l(e^y - e^-xr) = C'

Resposta

y^2 - x^2 + 2l(e^y - e^-xr) = C, y + e^y neq 0

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