Use o método de separação de varíaveis para resolver cada uma das equaçe abaixo:
y^prime=1+y^21+x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação y' = 1 + y^21 + x^2 . A matéria que estamos lidando aqui é cálculo, mais especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis y e x e integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever y' como dydx para facilitar a manipulação. Então, temos:
dydx = 1 + y^21 + x^2

Passo 3

Agora, queremos separar as variáveis y e x . Para isso, vamos colocar tudo que tem y de um lado e tudo que tem x do outro lado. Multiplicando ambos os lados por dx e dividindo por 1 + y^2 , ficamos com:
dy1 + y^2 = dx1 + x^2

Passo 4

Com as variáveis separadas, podemos integrar ambos os lados da equação. A integral de 11 + y^2 em relação a y é arctan(y) , e a integral de 11 + x^2 em relação a x também é arctan(x) . Portanto, ao integrar, temos:
integral dy1 + y^2 = integral dx1 + x^2
arctan(y) = arctan(x) + C
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Para isolar y , vamos aplicar a função tangente dos dois lados da equação. Lembrando que tan(arctan(z)) = z , temos:
y = tan(arctan(x) + C)
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y = tan(arctan(x) + C)
onde C é a constante de integração.

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