Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
(\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{0}{4-r{2}} r d z d r d \theta)
(\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{0}{4-r{2}} r d z d r d \theta)
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido determinado pela integral
Estamos em coordenadas cilíndricas e vamos usar que o elemento de volume é
. Precisamos esboçar o sólido e calcular essa integral.
Passo 2
Os limites são
,
,
.
Isso descreve exatamente a região sob o paraboloide e acima do plano
, projetada no plano
sobre o disco de raio
.
Isso descreve exatamente a região sob o paraboloide
Passo 3
Para esboçar o sólido observe que, no plano
, a projeção é um círculo de raio
. Em cada ponto desse disco a altura varia de
até a superfície parabólica
. O resultado é um “chapéu” de paraboloide invertido, cortado pelo plano
.
Passo 4
Agora calculamos o volume:
Integramos primeiro em
:
Então
Calculando a integral em
:
Logo
Resposta
O volume do sólido é
.
O sólido é o “chapéu” de paraboloide dado por truncado pelo plano
sobre o disco de raio
no plano
.
O sólido é o “chapéu” de paraboloide dado por