Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
(\int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2} \int_{0}{4-r{2}} r d z d r d \theta)

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido determinado pela integral
integral0^2piintegral0^2integral0^4-r^2r,dz,dr,dtheta
Estamos em coordenadas cilíndricas e vamos usar que o elemento de volume é dV = r,dz,dr,dtheta. Precisamos esboçar o sólido e calcular essa integral.

Passo 2

Os limites são
thetain[0,2pi],
rin[0,2],
zin[0,4-r^2].
Isso descreve exatamente a região sob o paraboloide z=4-r^2 e acima do plano z=0, projetada no plano xy sobre o disco de raio 2.

Passo 3

Para esboçar o sólido observe que, no plano xy, a projeção é um círculo de raio 2. Em cada ponto desse disco a altura varia de z=0 até a superfície parabólica z=4-r^2. O resultado é um “chapéu” de paraboloide invertido, cortado pelo plano z=0.

Passo 4

Agora calculamos o volume:
V = integral0^2piintegral0^2integral0^4-r^2r,dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z:
integral0^4-r^2r,dz = r,(4-r^2)
Então
V = integral0^2pidtheta integral0^2 l(4r - r^3r),dr = 2pi integral0^2l(4r - r^3r),dr
Calculando a integral em r:
integral0^2(4r - r^3),dr = [2r^2 - tfrac14r^4]0^2 = (2cdot4 - tfrac14cdot16) = 8 - 4 = 4
Logo
V = 2pi times 4 = 8pi

Resposta

O volume do sólido é 8pi.
O sólido é o “chapéu” de paraboloide dado por z=4-r^2 truncado pelo plano z=0 sobre o disco de raio 2 no plano xy.

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