Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{1} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{1} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi
Passo 1
E aí, tudo bem? O enunciado manda a gente esboçar o sólido que tem volume dado por
e depois calcular esse volume. O tema é Coordenadas Esféricas e Cálculo de Volume. Pra resolver, vamos precisar:
- Entender o que são coordenadas esféricas (definição e mudança de variável).
- Saber que o elemento de volume vira
. - Interpretar bem os limites de integração pra descobrir qual é o sólido.
Passo 2
Bora visualizar o sólido. Em esféricas a gente descreve qualquer ponto
assim:
–
de 0 a 1: vai do centro até a casca da esfera de raio 1.
– de 0 a
: do eixo
positivo até o plano
, pegando só a parte de cima.
– de 0 a
: pega só o primeiro quadrante no plano
(onde
).
Isso tudo junto é um oitante da esfera unitária (tipo um “pedaço de laranja” no canto de cima do espaço).
–
–
Isso tudo junto é um oitante da esfera unitária (tipo um “pedaço de laranja” no canto de cima do espaço).
Passo 3
Agora, calcula a integral separando as variáveis. A gente usa:
Como os limites não dependem uns dos outros, dá pra separar em três integrais:
- Integra em
:
- Integra em
:
- Integra em
:
Passo 4
É só multiplicar os resultados das três integrais: