Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
\int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{\pi / 2} \int_{0}^{1} \rho^{2} \operatorname{sen} \varphi d \rho d \theta d \varphi

Passo 1

E aí, tudo bem? O enunciado manda a gente esboçar o sólido que tem volume dado por
integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^1rho^2sinphi,drho,dtheta,dphi
e depois calcular esse volume. O tema é Coordenadas Esféricas e Cálculo de Volume. Pra resolver, vamos precisar:
  1. Entender o que são coordenadas esféricas (definição e mudança de variável).
  2. Saber que o elemento de volume vira dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.
  3. Interpretar bem os limites de integração pra descobrir qual é o sólido.

Passo 2

Bora visualizar o sólido. Em esféricas a gente descreve qualquer ponto (x,y,z) assim:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
rho de 0 a 1: vai do centro até a casca da esfera de raio 1.
phi de 0 a tfracpi2: do eixo z positivo até o plano xy, pegando só a parte de cima.
theta de 0 a tfracpi2: pega só o primeiro quadrante no plano xy (onde x>=0,y>=0).
Isso tudo junto é um oitante da esfera unitária (tipo um “pedaço de laranja” no canto de cima do espaço).

Passo 3

Agora, calcula a integral separando as variáveis. A gente usa:
V=integral0^pi/2integral0^pi/2integral0^1rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Como os limites não dependem uns dos outros, dá pra separar em três integrais:
  1. Integra em rho:
integral0^1rho^2,drho=l[tfracrho^33r]0^1=tfrac13
  1. Integra em phi:
integral0^pi/2sinphi,dphi=l[-cosphir]0^pi/2=1
  1. Integra em theta:
integral0^pi/2dtheta=tfracpi2

Passo 4

É só multiplicar os resultados das três integrais:
V = tfrac13 times 1 times tfracpi2 = tfracpi6

Resposta

boxedpi6

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