Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos um sólido cujo volume é dado por uma integral tripla em coordenadas esféricas. O conteúdo principal aqui é Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais nessa coordenada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos:
Aqui,
,
e
são as coordenadas esféricas, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano xy (similar ao ângulo polar), -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
A função
é o fator de escala que aparece na integral quando mudamos para coordenadas esféricas para calcular volumes.
Passo 3
Vamos integrar em ordem: primeiro em
, depois em
e por último em
.
Começamos com a integral em
:
A antiderivada de
em relação a
é
, então avaliamos de 0 a
:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral seguinte, que é em
:
Isso porque a integral de 1 em relação a
de 0 a
é simplesmente
.
Passo 5
Multiplicamos os resultados das duas primeiras integrais:
Agora, restou apenas a integral em
:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro da integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
, ou seja,
.
Quando
,
.
Quando
,
.
A integral fica:
Passo 7
Calculamos a antiderivada de
:
Avaliando de
a
:
Passo 8
Multiplicamos pelo fator
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.