Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral e calcule-a. integral0^pi / 3 integral0^2 pi integral0^sec phi rho^2 sen phi d rho d theta d phi

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para esboçarmos um sólido cujo volume é dado por uma integral tripla em coordenadas esféricas. O conteúdo principal aqui é Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais em coordenadas esféricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais nessa coordenada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos:
integral0^pi / 3 integral0^2 pi integral0^sec phi rho^2 sin phi , drho , dtheta , dphi
Aqui, , e são as coordenadas esféricas, onde:
  • é a distância do ponto à origem,
  • é o ângulo no plano xy (similar ao ângulo polar),
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z.
A função é o fator de escala que aparece na integral quando mudamos para coordenadas esféricas para calcular volumes.

Passo 3

Vamos integrar em ordem: primeiro em integral0^sec phi rho^2 , drho , depois em [ rho^33 ]0^sec phi = (sec phi)^33 - 0 = sec^3 phi3 e por último em .
Começamos com a integral em :
A antiderivada de em relação a é , então avaliamos de 0 a :

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral seguinte, que é em integral0^2pi dtheta = 2pi :
Isso porque a integral de 1 em relação a de 0 a é simplesmente .

Passo 5

Multiplicamos os resultados das duas primeiras integrais:
sec^3 phi3 times 2pi = 2pi3 sec^3 phi
Agora, restou apenas a integral em integral0^pi / 3 2pi3 sec^3 phi sin phi , dphi :

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro da integral:
sec^3 phi sin phi = 1cos^3 phi sin phi = sin phi cos^-3 phi
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja 2pi3 integralu=1^u=0.5 u^-3 (-du) = 2pi3 integral0.5^1 u^-3 du , então , ou seja, .
Quando , .
Quando , .
A integral fica:

Passo 7

Calculamos a antiderivada de integral u^-3 du = u^-2-2 = -12u^2 :
-12(1)^2 + 12(0.5)^2 = -12 + 12 times 0.25 = -12 + 2 = 32
Avaliando de a :

Passo 8

Multiplicamos pelo fator 2pi3 times 32 = pi :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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