Todas as respostas devem ter justificativas.
Sejam w, gamma e F0 constantes, encontre o sistema de equações diferenciais equivalente do problema massa mola
y^prime prime+w^2 y=F0 cos (gamma t), y(0)=0, y^prime(0)=0
Resolva o sistema nos casos gamma neq w e gamma=w.
Variação de parâmetros: Yp(x)=Phi(x) U(x), U^prime(x)=Phi^-1(x) F(t).
Se T=[lla & b c & d] é inversivel então T^-1=1det T[ccd & -b -c & a]

Passo 1

O problema pede para resolver a equação não homogênea de segunda ordem
y'' + w^2 y = F0 cos(gamma t), y(0)=0,;y'(0)=0,
usando redução a sistema de primeira ordem e variação de parâmetros.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
$$x_1 = y,
\quad x_2 = y’, x1 = y, x2 = y',
x1' = x2, x2' = -w^2 x1 + F0cos(gamma t)
$$

Passo 3

Para a parte homogênea consideramos
x' = A x, A = 0 & 1 -w^2 & 0
As autovalores são pm i w e a matriz fundamental é
Phi(t) = e^At = cos(wt) & tfrac1wsin(wt) -wsin(wt) & cos(wt)

Passo 4

Para variação de parâmetros escrevemos a solução particular como
xp(t)=Phi(t),U(t), U'(t)=Phi^-1(t)F(t),
onde
$$F(t)= F(t)=0 F0cos(gamma t) .
Phi^-1(t)
\Phi^{-1}(t)= Phi^-1(t)= cos(wt) & -tfrac1wsin(wt) wsin(wt) & cos(wt) .
U'(t)= -tfracF0wsin(wt)cos(gamma t) F0cos(wt)cos(gamma t)
U’(t)= .
$$

Passo 5

Caso gammaneq w: usamos as identidades
sin(wt)cos(gamma t)=tfrac12[sin((w+gamma)t)-sin((w-gamma)t)], cos(wt)cos(gamma t)=tfrac12[cos((w-gamma)t)+cos((w+gamma)t)]
Integrando U'(t), compondo xp=Phi U e impondo y(0)=y'(0)=0, chega-se a
y(t)=F0w^2-gamma^2l[cos(gamma t)-cos(wt)r]

Passo 6

Caso gamma=w (ressonância): as mesmas identidades geram termos proporcionais a t. Integração produz a solução particular
y(t)=F02w;t,sin(wt),
que satisfaz y(0)=y'(0)=0.

Resposta

Para γ≠w:
y(t)=F0w^2-gamma^2l[cos(gamma t)-cos(wt)r]
Para γ=w:
y(t)=F02w;t,sin(wt)

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