Todas as respostas devem ter justificativas.
Sejam
e
constantes, encontre o sistema de equações diferenciais equivalente do problema massa mola
Resolva o sistema nos casos
e
.
Variação de parâmetros:
.
Se
é inversivel então
Sejam
Variação de parâmetros:
Se
Passo 1
O problema pede para resolver a equação não homogênea de segunda ordem
usando redução a sistema de primeira ordem e variação de parâmetros.
Passo 2
Definimos as variáveis de estado
$$x_1 = y,
\quad x_2 = y’,
$$
Passo 3
Para a parte homogênea consideramos
As autovalores são
e a matriz fundamental é
Passo 4
Para variação de parâmetros escrevemos a solução particular como
onde
$$F(t)=
.
\Phi^{-1}(t)=
.
U’(t)=
.
$$
Passo 5
Caso
: usamos as identidades
Integrando
, compondo
e impondo
, chega-se a
Passo 6
Caso
(ressonância): as mesmas identidades geram termos proporcionais a
. Integração produz a solução particular
que satisfaz
.
Resposta
Para γ≠w:
Para γ=w: