Esboce o sólido Q limitado pelos planos S_{1}: x-y+z=0, S_{2}: y+z=2, x=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o esboço do sólido Q limitado pelos planos
S_{1}: x - y + z = 0,\quad S_{2}: y + z = 2,\quad x = 0,\quad z = 0.
Como são quatro planos formando um poliedro convexo, vamos achar primeiro os vértices resolvendo as interseções de três planos de cada vez. Em seguida identificamos que tipo de poliedro é e descrevemos como ligar esses pontos no desenho.

Passo 2

Determinamos os vértices de Q pelas interseções:
  1. Interseção de x=0, z=0 e S_{1}: x=0,\;z=0\quad\text{em}\quad x - y + z = 0\;\Longrightarrow\;-y=0\;\Longrightarrow\;y=0.Logo A=(0,0,0).
  2. Interseção de x=0, z=0 e S_{2}: x=0,\;z=0\quad\text{em}\quad y+z=2\;\Longrightarrow\;y=2.Logo B=(0,2,0).
  3. Interseção de z=0, S_{1} e S_{2}: z=0\quad\text{em}\quad y+z=2\;\Longrightarrow\;y=2,
z=0,\;y=2\quad\text{em}\quad x - y + z=0\;\Longrightarrow\;x=2.
Logo C=(2,2,0).
4) Interseção de x=0, S_{1} e S_{2}:
x=0\quad\text{em}\quad x - y + z=0\;\Longrightarrow\;z=y,
z=y\quad\text{em}\quad y+z=2\;\Longrightarrow\;2y=2\;\Longrightarrow\;y=1,\;z=1.
Logo D=(0,1,1).

Passo 3

Vemos que há exatamente quatro vértices A,B,C,D e quatro faces (cada face é a interseção do poliedro com um dos planos). Portanto Q é um tetraedro convexo cujas faces são os triângulos:
\text{no plano }x=0:\;ABD,\quad \text{no plano }z=0:\;ABC,\quad \text{no plano }S_{1}:\;ACD,\quad \text{no plano }S_{2}:\;BCD.

Passo 4

Para esboçar: trace eixos cartesianas com x à direita, y para dentro da página e z para cima.
  • Marque A=(0,0,0) na origem.
  • Marque B=(0,2,0) no eixo y.
  • Marque C=(2,2,0) no plano z=0, deslocado em x.
  • Marque D=(0,1,1) sobre a reta x=0 elevada até z=1.
    Depois, ligue A, B e C para formar a base triangular, e conecte D a A, B e C para completar o tetraedro.

Resposta

O sólido Q é um tetraedro convexo de vértices
A=(0,0,0),\quad B=(0,2,0),\quad C=(2,2,0),\quad D=(0,1,1),
com faces triangulares nos planos x=0, z=0, S_{1} e S_{2}.

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