Identifique e esboce as superfícies quádricas
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície quádricas
e pede para identificar de que tipo de quadric ela é e como esboçá-la. Vamos usar a classificação pelas assinaturas dos coeficientes e estudar seções transversais.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão, temos
Como aparecem dois sinais “+” e um sinal “–” e o lado direito é positivo, trata-se de um hiperboloide de uma folha.
Passo 3
Para ver o centro e o eixo principal, completamos o quadrado em
. A equação já está na forma
logo o centro fica em
e o eixo principal é paralelo ao eixo
.
Passo 4
Analisando seções transversais por planos
constantes, obtemos
ou seja, círculos de raio
Em
o círculo mínimo tem raio
, e à medida que
cresce,
cresce também.
Passo 5
As seções pelas retas
(no plano
) são dadas por
uma hipérbole cujas assíntotas são
De modo análogo, no plano
(com
) as assíntotas são
. O cone assintótico da superfície vem de
Passo 6
Para esboçar:
- Marque o ponto
. - Desenhe o círculo de raio
em . - Acima e abaixo de
trace círculos de raio , cada vez maiores. - Em planos
e , desenhe a hipérbole com assíntotas (ou ). - Esboce leve “flaring” dos círculos, lembrando que o corpo todo converge ao cone assintótico.
Resposta
A superfície é um hiperboloide de uma folha com centro em
e eixo paralelo a
; as seções
são círculos de raio
, e o esboço mostra um “corpo” que se abre simetricamente acima e abaixo de
, tangenciando o cone
.