Identifique e esboce as superfícies quádricas
x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=1

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície quádricas
x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=1
e pede para identificar de que tipo de quadric ela é e como esboçá-la. Vamos usar a classificação pelas assinaturas dos coeficientes e estudar seções transversais.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, temos
\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{1}-\frac{(z-2)^{2}}{1}=1.
Como aparecem dois sinais “+” e um sinal “–” e o lado direito é positivo, trata-se de um hiperboloide de uma folha.

Passo 3

Para ver o centro e o eixo principal, completamos o quadrado em z. A equação já está na forma
x^{2}+y^{2} - (z-2)^{2}=1,
logo o centro fica em (0,0,2) e o eixo principal é paralelo ao eixo z.

Passo 4

Analisando seções transversais por planos z=z_{0} constantes, obtemos
x^{2}+y^{2}=1+(z_{0}-2)^{2},
ou seja, círculos de raio
r(z_{0}) = \sqrt{\,1+(z_{0}-2)^{2}\,}.
Em z=2 o círculo mínimo tem raio 1, e à medida que |z_{0}-2| cresce, r(z_{0}) cresce também.

Passo 5

As seções pelas retas y=0 (no plano xz) são dadas por
x^{2}-(z-2)^{2}=1,
uma hipérbole cujas assíntotas são
z-2 = \pm x.
De modo análogo, no plano yz (com x=0) as assíntotas são z-2=\pm y. O cone assintótico da superfície vem de
x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=0.

Passo 6

Para esboçar:
  1. Marque o ponto C=(0,0,2).
  2. Desenhe o círculo de raio 1 em z=2.
  3. Acima e abaixo de z=2 trace círculos de raio \sqrt{1+(z-2)^{2}}, cada vez maiores.
  4. Em planos y=0 e x=0, desenhe a hipérbole x^{2}-(z-2)^{2}=1 com assíntotas z-2=\pm x (ou z-2=\pm y).
  5. Esboce leve “flaring” dos círculos, lembrando que o corpo todo converge ao cone assintótico.

Resposta

A superfície é um hiperboloide de uma folha com centro em (0,0,2) e eixo paralelo a z; as seções z=\text{const} são círculos de raio \sqrt{1+(z-2)^{2}}, e o esboço mostra um “corpo” que se abre simetricamente acima e abaixo de z=2, tangenciando o cone x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=0.

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