Identifique e esboce as superfícies quádricas
x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a superfície quádica dada por
x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=0.
O conteúdo envolve classificação de superfícies quádricas, em particular reconhecer a forma canônica e determinar sua geometria (tipo de superfície, vértice, eixos, aberturas).

Passo 2

Definimos a nova variável
u = z - 2,
para recentrar a equação no eixo u. Substituindo em
x^{2}+y^{2}-(z-2)^{2}=0
vemos que ela se torna
x^{2}+y^{2}-u^{2}=0.
Esse é o caso padrão de um cone duplo circular de vértice na origem do sistema (x,y,u).

Passo 3

Voltando às coordenadas originais, o vértice desse cone em (x,y,u)=(0,0,0) corresponde a
(x,y,z)=(0,0,2).
O eixo do cone é o eixo u, isto é, paralelo ao eixo z. Como os coeficientes de x^{2}+y^{2} e de u^{2} são iguais em módulo, as geratrizes fazem ângulo de 45^\circ com o eixo z, e o cone abre simetricamente para cima e para baixo de z=2.

Passo 4

Para esboçar, considere a seção pelo plano y=0:
x^{2}-(z-2)^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad |x|=|\,z-2\,|,
que são duas retas cruzadas com vértice em (0,2) no plano xz. Girando essa figura em torno do eixo z, obtemos o cone de revolução com ápice em (0,0,2) e duas “nappes”, uma estendendo-se para z>2 e outra para z<2.

Resposta

A superfície é um cone duplo circular de vértice em (0,0,2), eixo paralelo ao eixo z e geratrizes formando 45^\circ com esse eixo.

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