Esboce a solução para o PVI
d yd t=2 y-2 y t, y(0)=3
e determine seu valor máximo.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
dydt=2y-2yt,, y(0)=3
que é uma equação de primeira ordem separável (ou linear). Nosso objetivo é encontrar a solução explícita y(t), esboçá-la qualitativamente e determinar o ponto em que ela atinge valor máximo.

Passo 2

Reescrevendo a equação como separável temos
1y,dydt=2,(1-t)
Integramos ambos os lados em relação a t:
integral 1y,dy = integral 2,(1-t),dt ;Longrightarrow; ln|y| = 2t - t^2 + C

Passo 3

Exponenciando e aplicando a condição y(0)=3 obtemos
y(t) = e^2t - t^2 + C = Ce^2t - t^2,
y(0)=3 implies C,e^0 =3 implies C=3
Logo
y(t) = 3,e^2t - t^2

Passo 4

Para achar o máximo, usamos que em um extremo dy/dt=0. Da equação original
dydt=2y,(1-t)=0
como y(t)>0, segue 1-t=0implies t=1. Então
y(1)=3,e^2cdot1 -1^2=3e
O esboço é uma curva que cresce de y(0)=3 até t=1 (pico em 3e) e depois decresce, pois o expoente 2t-t^2 é um polinômio que abre para baixo.

Resposta

y(t)=3,e^2t - t^2, valor máximo ymax=3e em t=1 á

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