Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
t^{-1} \frac{d y}{d t}=2 \cos ^{2} y, y(0)=\pi / 4
t^{-1} \frac{d y}{d t}=2 \cos ^{2} y, y(0)=\pi / 4
Passo 1
O problema pede para resolver o PVI
Trata-se de uma EDO de variáveis separáveis, porém note que em
o termo
torna a equação singular. Para aplicar separação de variáveis, vamos trabalhar em
e depois estender a solução para
por continuidade.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por
(supondo
), obtemos
Passo 3
Agora separamos as variáveis, escrevendo todos os termos em
de um lado e em
do outro:
Passo 4
Integramos os dois lados. Lembrando que
e
, temos
onde
é constante de integração.
Passo 5
Impondo a condição inicial
, obtemos
Passo 6
Substituindo
na solução implícita, fica
Esta solução vale para
e se estende continuamente a
, onde
.