Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
t^{-1} \frac{d y}{d t}=2 \cos ^{2} y, y(0)=\pi / 4

Passo 1

O problema pede para resolver o PVI
t^-1dydt=2cos^2y, y(0)=pi4
Trata-se de uma EDO de variáveis separáveis, porém note que em t=0 o termo t^-1 torna a equação singular. Para aplicar separação de variáveis, vamos trabalhar em t>0 e depois estender a solução para t=0 por continuidade.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por t (supondo t>0), obtemos
dydt=2,tcos^2y

Passo 3

Agora separamos as variáveis, escrevendo todos os termos em y de um lado e em t do outro:
dycos^2y=2,t,dt

Passo 4

Integramos os dois lados. Lembrando que integralsec^2y,dy=tan y e integral2t,dt=t^2, temos
integraldycos^2y=integral2t,dt Longrightarrow tan y = t^2 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=pi/4, obtemos
tanl(y(0)r)=tanpi4=1 Longrightarrow 1 = 0^2 + C Longrightarrow C=1

Passo 6

Substituindo C=1 na solução implícita, fica
tan y = t^2 + 1 Longrightarrow y(t)=arctanl(t^2+1r)
Esta solução vale para t>0 e se estende continuamente a t=0, onde y(0)=arctan(1)=pi/4.

Resposta

y(t)=arctanl(t^2+1r)

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