Resolva o seguinte PVI:

Passo 1

Temos o problema de valor inicial y'(t)=y(t)ln y(t)1+t^2,,y(0)=e^2. Esse é um caso de EDO separável, então vamos separar variáveis, integrar e usar a condição inicial.

Passo 2

Colocamos todos os termos em y de um lado e em t do outro:
dyyln y = dt1+t^2

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a substituição u=ln y, o que implica du=dyy. Assim:
integral dyyln y = integral duu = lnl|ln yr| + C1

Passo 4

No lado direito, a integral é direta:
integral dt1+t^2 = arctan t + C2

Passo 5

Iguais as integrais e combinando as constantes em uma só C, obtemos:
lnl|ln yr| = arctan t + C

Passo 6

Exponenciando essa expressão e usando a condição inicial em t=0 (onde ln y(0)=2), definimos A=e^C e achamos A=2. Portanto:
ln y = 2 e^arctan t

Resposta

y(t)=expl(2e^arctan tr)

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