Nos problemas abaixo, resolva o PVI.
\frac{1}{2} \frac{d y}{d x}=\sqrt{y+1} \cos x, y(\pi)=0

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
12,dydx=raizy+1,cos x, y(pi)=0
e pede para encontrar y(x). O conteúdo aqui é equação diferencial separável.

Passo 2

Reescrevemos separando variáveis. Multiplicando ambos os lados por 2 e dividindo por raizy+1, temos
dy2raizy+1=cos x,dx

Passo 3

Integramos os dois lados. No lado esquerdo
integral dy2raizy+1 =12integral (y+1)^-tfrac12dy =raizy+1+C1,
e no direito
integral cos x,dx=sin x + C2
Igualando e absorvendo constantes, escrevemos
raizy+1=sin x + C

Passo 4

Usamos a condição y(pi)=0. Em x=pi temos raiz0+1=1 e sinpi=0, logo
1=0 + CLongrightarrow C=1

Passo 5

Substituindo C=1 obtemos
raizy+1=sin x + 1
Elevando ao quadrado,
y+1=(sin x+1)^2 Longrightarrow y=(sin x+1)^2-1

Resposta

y(x)=(sin x+1)^2-1

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