Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(j) x y>0

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o conjunto de pontos (x,y) no plano que satisfazem a desigualdade
xy>0.
O conteúdo aqui é interpretação geométrica de desigualdades em duas variáveis. Vamos usar o fato de que o produto de dois números é positivo exatamente quando eles têm o mesmo sinal.

Passo 2

Recapitulando a teoria: para quaisquer números reais x e y, vale
xy>0\quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x>0\text{ e }y>0,\\\ \text{ou}\\\ x<0\text{ e }y<0. \end{cases}
Portanto, a região pedida é a união de dois “quadrantes” do plano, sem incluir os eixos (já que nestes o produto seria zero).

Passo 3

Descrevendo cada caso:
  • No primeiro quadrante tem x>0 e y>0.
  • No terceiro quadrante tem x<0 e y<0.
Em ambos não incluímos as retas x=0 ou y=0, pois aí teríamos xy=0, não estritamente maior que zero.

Passo 4

Para esboçar:
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Sombreie a região aberta do primeiro quadrante (acima e à direita da origem).
  3. Sombreie a região aberta do terceiro quadrante (abaixo e à esquerda da origem).
    As retas dos eixos ficam não sombreadas, pois nelas xy=0.

Resposta

O conjunto \{(x,y)\mid xy>0\} é a união dos quadrantes I e III, excluindo-se os eixos.

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