Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(k) x y=1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o conjunto de todos os pontos (x,y) do plano que satisfazem a condição
x\,y = 1.
O conteúdo aqui é curvas implícitas e, em particular, veremos que essa equação define uma hipérbole.

Passo 2

Para entender melhor, isolamos y:
y = \frac{1}{x}.
Isso mostra que o domínio são todos os x\neq 0.

Passo 3

Analisando o comportamento em cada quadrante:
  • Se x>0, então y=\tfrac1x>0. Conforme x\to0^+, y\to+\infty, e conforme x\to+\infty, y\to0^+.
  • Se x<0, então y=\tfrac1x<0. Conforme x\to0^-, y\to-\infty, e conforme x\to-\infty, y\to0^-.

Passo 4

Os eixos coordenados x=0 e y=0 atuam como assíntotas da curva. Assim, o gráfico é uma hipérbole de equação xy=1 com duas ramas: uma no primeiro quadrante e outra no terceiro quadrante, aproximando-se dos eixos.

Resposta

O esboço é a hipérbole dada por y=1/x, com duas ramas:
  • ramo no primeiro quadrante, aproximando-se de x=0 e y=0;
  • ramo no terceiro quadrante, também aproximando-se de x=0 e y=0.

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