Faça o que se pede:
Dada a equação em coordenadas polares r=\frac{5}{2+3 \cos \theta}, encontre a equação cartesiana na forma reduzida correspondente. Identifique a curva trabalhada.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\frac{5}{2+3\cos\theta}
e pede a forma cartesiana reduzida correspondente, além de identificar a curva. O conteúdo é conversão de coordenadas polares para cartesianas e reconhecimento de seções cônicas.

Passo 2

Usamos as relações
\;x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^2+y^2}
Multiplicando a equação polar por (2+3\cos\theta) fica
r(2+3\cos\theta)=5
e, como \cos\theta=x/r, obtemos
2r+3x=5.

Passo 3

Substituindo r=\sqrt{x^2+y^2} na expressão anterior:
2\sqrt{x^2+y^2}+3x=5.

Passo 4

Isolamos o termo com raiz e elevamos ao quadrado:
2\sqrt{x^2+y^2}=5-3x
\bigl(2\sqrt{x^2+y^2}\bigr)^2=(5-3x)^2
4(x^2+y^2)=25-30x+9x^2.

Passo 5

Expandindo e organizando temos
4x^2+4y^2=25-30x+9x^2
0=9x^2-4x^2-30x+25-4y^2
5x^2-30x-4y^2+25=0.

Passo 6

Completamos o quadrado em x:
5\bigl(x^2-6x\bigr)-4y^2+25=0
5\bigl((x-3)^2-9\bigr)-4y^2+25=0
5(x-3)^2-45-4y^2+25=0
5(x-3)^2-4y^2=20.

Passo 7

Dividindo por 20 para obter a forma reduzida:
\frac{5(x-3)^2}{20}-\frac{4y^2}{20}=1
\frac{(x-3)^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1.
Como o sinal de (x-3)^2 é positivo e o de y^2 é negativo, trata-se de uma hipérbole centrada em (3,0), com semi-eixo real a=2 e semi-eixo imaginário b=\sqrt{5}.

Resposta

A equação cartesiana reduzida é
\frac{(x-3)^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1
e a curva é uma hipérbole de centro (3,0), eixo transverso paralelo ao eixo x, com a=2 e b=\sqrt{5}.

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