Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(l) y \geq 2 x^{2} e y+2 x>4

Passo 1

O enunciado pede o esboço do subconjunto de \mathbb{R}^2 definido por
y \ge 2x^2 \quad\text{e}\quad y + 2x > 4.
O conteúdo envolve esboçar uma parábola e um meio-plano e depois marcar a região que satisfaz ambas as condições.

Passo 2

Esboce a parábola y = 2x^2. É uma curva simétrica em relação ao eixo y, que abre para cima e tem vértice em (0,0). Como y\ge2x^2, a região válida fica acima (ou sobre) essa parábola. No esboço, represente a fronteira parabólica com linha sólida, pois o “ \ge” inclui a própria curva.

Passo 3

Esboce a reta dada por
y + 2x = 4 \quad\Longleftrightarrow\quad y = 4 - 2x.
Trata-se de uma reta de coeficiente angular -2 e intercepto em y=4. Como a condição é y + 2x > 4, a região válida fica acima dessa reta. No esboço, represente a fronteira reta com linha tracejada, pois o “ >não inclui a própria reta.

Passo 4

A região procurada é a interseção do meio-plano acima da reta y=4-2x com a região acima da parábola y=2x^2. Em particular, para encontrar onde cada fronteira domina, resolva
2x^2 = 4 - 2x \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \text{ ou } x = -2.
Entre x=-2 e x=1, a reta está acima da parábola; fora desse intervalo, a parábola fica acima da reta. Mas no esboço final basta sombrear todo o ponto que esteja acima de ambas as curvas.

Resposta

O conjunto é a região do plano que fica simultaneamente acima da parábola y=2x^2 (fronteira sólida) e acima da reta y=4-2x (fronteira tracejada). No esboço, sombreie essa interseção.

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