Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(m) y=x^{2} e x+y<1

Passo 1

Estamos em geometria analítica: precisamos esboçar a curva dada pela parábola
y = x^{2}
e o meia-plano
x + y < 1
e então determinar o subconjunto do plano que satisfaz simultaneamente essas duas condições, isto é, a interseção da parábola com esse meia-plano.

Passo 2

Esboce a parábola y = x^{2}.
  • É uma curva que abre para cima, vértice na origem (0,0).
  • Para ter uma noção do formato, marque alguns pontos: \,( -1,1),\,(0,0),\,(1,1),\,(2,4), etc.

Passo 3

Esboce a reta limite do meia-plano, dada por
x + y = 1,
e identifique o lado que corresponde a x + y < 1.
  • A reta intercepta os eixos em (1,0) e (0,1).
  • Para saber qual lado é x+y<1, teste um ponto fácil, por exemplo (0,0):
0 + 0 = 0 < 1,
logo o ponto (0,0) pertence ao meia-plano. Então sombreie a região abaixo da reta (no sentido de “para dentro” em direção ao ponto (0,0)).

Passo 4

Encontre os pontos de interseção entre a parábola e a reta, resolvendo
\begin{cases} y = x^{2},\\\ x + y = 1. \end{cases}
Substituindo y=x^{2} em x+y=1
x + x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+x-1=0.
As raízes são
x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.
Para cada uma,
y = x^{2}
gera os pontos de interseção
P_{1} = \Bigl(\tfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\bigl(\tfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\bigr)^{2}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Bigr),
P_{2} = \Bigl(\tfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Bigr).

Passo 5

Determine qual porção da parábola fica em x+y<1.
  • Tome um ponto intermediário, por exemplo x=0, na parábola y=0^{2}=0. Como 0+0<1, o ponto (0,0) está no meia-plano.
  • Isso mostra que, entre P_{1} e P_{2} ao longo da parábola, a condição x+y<1 vale. Para x menor que \tfrac{-1-\sqrt5}2 ou maior que \tfrac{-1+\sqrt5}2, a curva fica acima da reta e não satisfaz a desigualdade.

Resposta

O subconjunto é o arco da parábola y=x^{2} compreendido estritamente entre os pontos
\Bigl(\tfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(\tfrac{-1+\sqrt{5}}{2},\,\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}\Bigr),
isto é, toda a parte da curva y=x^{2} que fica abaixo da reta x+y=1.

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