Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
§ y>x^{2} e x>y^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do conjunto de pontos (x,y) do plano que satisfazem simultaneamente
y > x^2
e
x > y^2.
O conteúdo envolve interpretar graficamente duas parábolas e identificar a região de interseção.

Passo 2

Desenhe a parábola de equação
y = x^2,
que abre para cima com vértice em (0,0). A desigualdade y>x^2 indica a região acima dessa curva.

Passo 3

Desenhe a parábola de equação
x = y^2,
que abre para a direita com vértice em (0,0). A desigualdade x>y^2 indica a região à direita dessa curva.

Passo 4

Para saber onde as duas parábolas se cruzam, resolvemos o sistema
\begin{cases} y = x^2,\\\ x = y^2. \end{cases}
Substituindo y=x^2 em x=y^2
x = (x^2)^2 = x^4 \quad\Longrightarrow\quad x^4 - x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x(x^3 - 1)=0
logo x=0 ou x=1. Se x=0, então y=0; se x=1, então y=1. Os pontos de interseção são (0,0) e (1,1).

Passo 5

Na região de interesse temos também
x > y^2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 0,
e, como x>0, divide-se a desigualdade x>x^4 por x, obtendo x^3 < 1, ou seja 0<x<1.
Além disso, de y>x^2 e x>y^2 segue
x^2 < y < \sqrt{x}.

Passo 6

Concluímos que o subconjunto procurado é exatamente a “lente” no primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = \sqrt{x},
com x variando de 0 a 1. É essa região que deve ser esboçada.

Resposta

O conjunto é dado por
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 < x < 1,\;x^2 < y < \sqrt{x}\},
isto é, a região em forma de lente entre as parábolas y=x^2 e y=\sqrt{x} no primeiro quadrante.

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