Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(w) x+y \geq 1 e y>x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede o esboço do subconjunto do plano que satisfaz simultaneamente
x + y \ge 1
e
y > x^2 - 1.
O que precisamos fazer é:
– traçar a reta \,x+y=1 e indicar a região \,x+y\ge1;
– traçar a parábola \,y = x^2 - 1 e indicar a região \,y>x^2 -1;
– finalmente, somar essas condições para obter a região de interseção.

Passo 2

Analisando a reta
x + y = 1,
vemos que ela tem coeficiente angular -1 e interceptos em (0,1) e (1,0). A desigualdade
x + y \ge 1
é a região sobre (ou em cima) dessa reta. No esboço, marca-se a reta com traço contínuo e sombreia-se acima dela.

Passo 3

Analisando a parábola
y = x^2 - 1,
que abre para cima com vértice em (0,-1). A desigualdade
y > x^2 - 1
é a região acima da parábola, estritamente (não incluímos a curva). No esboço, indica-se a parábola com traço pontilhado e sombreia-se acima dela.

Passo 4

A região de interesse é a interseção das duas metades-planejadas. Para ver qual das duas curvas “impõe” o limite em cada x, igualamos
x^2 - 1 = 1 - x
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1)=0
logo as curvas se cruzam em x=-2 e x=1.
– Para -2 \le x \le 1, a reta está acima da parábola, então o limite inferior da região vem de \,x+y=1.
– Para x< -2 ou x>1, a parábola está acima da reta, então o limite inferior vem de \,y = x^2 -1.
Em todos os casos, a região é a parte do plano acima de ambas as curvas.

Resposta

O esboço mostra:
– a reta x+y=1 como linha contínua e a região x+y\ge1 sombreada acima dela;
– a parábola y=x^2-1 como linha pontilhada e a região y>x^2-1 sombreada acima dela;
– a interseção dessas regiões, que é o conjunto de todos os pontos acima de ambas as curvas.

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