Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(a) x+y \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano o conjunto de todos os pontos (x,y) que satisfazem a inequação
x + y \le 1.
O conteúdo aqui é geometria analítica em duas variáveis: vamos identificar primeiro a reta que forma a fronteira e depois determinar de que lado do plano está o semiplano que satisfaz a condição.

Passo 2

A fronteira do conjunto é dada pela equação
x + y = 1.
Para desenhar essa reta, encontramos dois pontos notáveis:
– Se x=0, então y=1.
– Se y=0, então x=1.
Portanto, basta traçar a reta que passa por (0,1) e (1,0).

Passo 3

Para saber de que lado da reta fica o conjunto x+y\le1, escolhemos um ponto teste fácil, por exemplo (0,0). Como
0 + 0 = 0 \le 1,
o ponto (0,0) pertence ao conjunto. Logo, o semiplano buscado é aquele que contém a origem.

Passo 4

No esboço, representamos a reta x+y=1 por uma linha reta sólida (porque a desigualdade é “ \le”, incluindo a fronteira) e depois pintamos (sombreamos) todo o lado que contém (0,0). Esse semiplano fica “abaixo” ou “à esquerda” da reta (considerando orientação padrão).

Resposta

O conjunto é o semiplano fechado formado por todos os pontos no plano que estão sobre ou abaixo da reta que passa por (1,0) e (0,1). Em outras palavras, é o conjunto
\{(x,y)\mid x+y\le1\},
devidamente esboçado com a reta x+y=1 sólida e a região que contém a origem sombreada.

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