Esboce os subconjuntos do plano definidos pelas condições dadas.
(y) x^{2}+y^{2} \leq 1 \mathrm{e}(x-1)^{2}+ y^{2} \leq 1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar no plano o conjunto de pontos que satisfaz simultaneamente
x^{2}+y^{2}\le1
e
(x-1)^{2}+y^{2}\le1.
O conteúdo usado será geometria analítica: discos e suas interseções.

Passo 2

A desigualdade \;x^{2}+y^{2}\le1;é o disco fechado de raio 1 centrado em (0,0).
A desigualdade \;(x-1)^{2}+y^{2}\le1;é o disco fechado de raio 1 centrado em (1,0).

Passo 3

Para entender a forma da interseção, primeiro encontramos os pontos comuns às fronteiras dos dois discos, resolvendo
\begin{cases} x^{2}+y^{2}=1,\\\ (x-1)^{2}+y^{2}=1. \end{cases}
Subtraindo as duas equações vem
x^{2}+y^{2}-(x-1)^{2}-y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad -2x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac12.
Substituindo em x^{2}+y^{2}=1 obtém-se
y^{2}=1-\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}=\tfrac34,
logo os pontos de interseção são
\Bigl(\tfrac12,\,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).

Passo 4

A interseção dos dois discos é a região em forma de lente limitada por dois arcos de círculo:
  • um arco da circunferência centrada em (0,0) unindo \bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr) a \bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr),
  • e um arco da circunferência centrada em (1,0) unindo os mesmos pontos.
Essa região é exatamente o “lente” formado pela sobreposição dos dois discos de raio 1.

Resposta

O conjunto procurado é a região em forma de lente (interseção dos dois discos de raio 1 com centros em (0,0) e (1,0)), cujos vértices são \bigl(\tfrac12,\pm\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr).

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