Esboce as superfícies de nível indicadas:
f(x, y, z)=z+x^2-y^2, k=0

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície de nível k=0 da função
f(x,y,z)=z + x^2 - y^2
O conteúdo aqui é identificação de superfícies quádricas (nível de uma função de três variáveis) e vamos precisar reescrever a equação de f(x,y,z)=0 numa forma explícita e, em seguida, analisar seções planas para entender o formato da superfície.

Passo 2

Para obter a superfície de nível igual a zero, igualamos
f(x,y,z)=0
ou seja,
z + x^2 - y^2=0
Reorganizando, temos
z = y^2 - x^2

Passo 3

A equação
z = y^2 - x^2
é a forma padrão de um paraboloide hiperbólico (também chamado de “superfície de sela”), em que em uma direção (eixo y) abre para cima e na outra (eixo x) abre para baixo.

Passo 4

Analisando seções planas:
  1. Para x = x0 constante, z = y^2 - x0^2 é uma parábola em y!-!z que abre para cima, deslocada para z=-x0^2.
  2. Para y = y0 constante, z = y0^2 - x^2 é uma parábola em x!-!z que abre para baixo, deslocada para z=y0^2.
  3. Para z = z0 constante, x^2 - y^2 = z0 são hipérboles no plano x!-!y. Em particular, para z0=0 temos as retas y=pm x.

Passo 5

Com base nessas seções, o esboço deve mostrar uma sela centrada na origem, cruzando o plano z=0 pelas linhas y=pm x.
  • Ao longo do eixo y, a superfície “sobe” (parábolas voltadas para cima).
  • Ao longo do eixo x, a superfície “desce” (parábolas voltadas para baixo).

Resposta

A superfície de nível k=0 é o paraboloide hiperbólico dado por
z = y^2 - x^2

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