Esboce as superfícies de nível indicadas:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície de nível
da função
O conteúdo aqui é identificação de superfícies quádricas (nível de uma função de três variáveis) e vamos precisar reescrever a equação de
numa forma explícita e, em seguida, analisar seções planas para entender o formato da superfície.
Passo 2
Para obter a superfície de nível igual a zero, igualamos
ou seja,
Reorganizando, temos
Passo 3
A equação
é a forma padrão de um paraboloide hiperbólico (também chamado de “superfície de sela”), em que em uma direção (eixo
) abre para cima e na outra (eixo
) abre para baixo.
Passo 4
Analisando seções planas:
- Para
constante, é uma parábola em que abre para cima, deslocada para . - Para
constante, é uma parábola em que abre para baixo, deslocada para . - Para
constante, são hipérboles no plano . Em particular, para temos as retas .
Passo 5
Com base nessas seções, o esboço deve mostrar uma sela centrada na origem, cruzando o plano
pelas linhas
.
- Ao longo do eixo
, a superfície “sobe” (parábolas voltadas para cima). - Ao longo do eixo
, a superfície “desce” (parábolas voltadas para baixo).
Resposta
A superfície de nível
é o paraboloide hiperbólico dado por