Exercício 3. Determine gamma^prime(t) quando:
gamma(t)=(cos (t^2+ln (t^2)), sin (ln (2+cos (t)))) ;

Passo 1

O enunciado dá a curva vetorial
gamma(t)=l(cosl(t^2+ln(t^2)r),;sinl(lnl(2+cos tr)r)r)
e pede gamma'(t). Vamos aplicar a regra da cadeia separadamente em cada componente.

Passo 2

Defina
u(t)=t^2+ln(t^2)
Derivando,
u'(t)=2t+1t^2cdot2t=2t+2t
Como x(t)=cos(u(t)), pela cadeia:
x'(t)=-sinl(u(t)r),u'(t) =-sinl(t^2+ln(t^2)r),l(2t+2tr)

Passo 3

Defina
v(t)=lnl(2+cos tr)
Derivando,
v'(t)=12+cos tcdot(-sin t) =-sin t2+cos t
Como y(t)=sin(v(t)), pela cadeia:
y'(t)=cosl(v(t)r),v'(t) =-sin t2+cos t,cosl(ln(2+cos t)r)

Passo 4

Agrupando as duas componentes,
gamma'(t)=l(x'(t),,y'(t)r)

Resposta

gamma'(t) =l( -sinl(t^2+ln(t^2)r),l(2t+2tr) ,; -sin t2+cos t,cosl(ln(2+cos t)r) r)

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