Esboço de lugares geométricos:
(a) Esboce um par de eixos cartesianos que representam um plano.
Coloque (sempre) o nome dos eixos, uma escala para vertical e uma escala para horihontal.
(b) Neste par de eixos esboce a região do plano ly >= 2 x^2+x-2, y<x+1

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe no plano cartesiano a região
y >= 2x^2 + x - 2, y < x + 1,
ou seja, o conjunto de pontos que está por cima da parábola y = 2x^2 + x - 2 (incluindo a fronteira) e por baixo da reta y = x + 1 (sem incluir a fronteira). Para isso vamos precisar de:
  • Traçar eixos x e y com escala (por exemplo, cada tick =1 unidade).
  • Desenhar a parábola e a reta, marcando suas interseções.
  • Identificar o intervalo de x onde a região existe e sombrear entre as curvas.

Passo 2

Desenho da parábola y = 2x^2 + x - 2:
1. Coeficientes: a = 2>0 (abre para cima), b = 1, c=-2.
2. Vértice em
xv = -b2a = -14, yv = 2l(-tfrac14r)^2 + (-tfrac14) - 2 = 2cdottfrac116 - tfrac14 -2 = -2,125
3. Pontos de referência:
f(0) = -2, f(1) = 2 + 1 - 2 = 1, f(-1) = 2 -1 -2 = -1
4. Desenhe a curva sólida passando pelo vértice l(-tfrac14,-2,125r) e pelos pontos (0,-2), (1,1), (-1,-1).

Passo 3

Desenho da reta y = x + 1:
1. Coeficiente angular m=1, intercepto em y dado por (0,1).
2. Outro ponto: se x=1, y=2.
3. Trace a reta em traço fino ou tracejado, passando por (0,1) e (1,2).

Passo 4

Interseção entre parábola e reta:
2x^2 + x -2 = x + 1 ;Longrightarrow; 2x^2 - 3 = 0 ;Longrightarrow; x^2 = tfrac32 ;Longrightarrow; x = pmraiztfrac32approx pm1,225
Os pontos de interseção são
l(-raiztfrac32,,1 -raiztfrac32r) e l(raiztfrac32,,1 +raiztfrac32r)

Passo 5

Intervalo de x onde existe região:
Como precisamos de 2x^2 + x -2 <= y < x+1, há solução somente enquanto
2x^2 + x -2 < x + 1 ;Long<=ftrightarrow; 2x^2 -3 <0 ;Long<=ftrightarrow; |x| < raiztfrac32
Logo a região está restrita a -raiztfrac32 < x < raiztfrac32. Para cada x desse intervalo, y fica entre a parábola (linha sólida em baixo) e a reta (linha tracejada em cima).

Passo 6

Desenho final e sombreamento:
1. Num papel quadriculado, trace os eixos x (horizontal) e y (vertical). Marque ticks de 1 em 1 em ambos, e coloque as setas e rótulos “ x” e “ y”.
2. Desenhe a parábola em linha contínua conforme Passo 2.
3. Desenhe a reta em linha tracejada conforme Passo 3.
4. Marque claramente os dois pontos de interseção em xapproxpm1,225.
5. Sombreie a região entre as duas curvas apenas para -1,225 < x < 1,225, preenchendo de forma leve para indicar y>=2x^2+x-2 e y< x+1.

Resposta

O esboço é um sistema de eixos com escala unitária, a parábola y=2x^2+x-2 desenhada solidamente, a reta y=x+1 em tracejado, os pontos de interseção em x=pmraiz3/2, e a região sombreada entre as duas curvas para -raiz3/2<x<raiz3/2.

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