(ESC. NAVAL) Considere as seguintes matrizes R=[ccc4 & (16)^y & -1 9^x & a & 0] ; S=[ccc1 & (4)^(2 y-1) & 2^-1 3^x & b & 1] e T=[cccb & (2)^(2 y-1)-10 & c 27 & 13 & -6].
A soma dos quadrados das constantes reais x, y, a, b, c que satisfazem à equação matricial R-6 S=T é
a) 23
b) 26
c) 29
d) 32
e) 40

Passo 1

O enunciado dá três matrizes R, S e T de ordem 2times3 com entradas que dependem de x,y,a,b,c e pede para resolver a equação matricial
R - 6S = T
e, em seguida, calcular a soma dos quadrados de x,y,a,b,c. O conteúdo é igualdade de matrizes (igualar cada entrada) e resolução de equações exponenciais e lineares.

Passo 2

Igualando a entrada (1,1) de R-6S à de T temos
4 - 6cdot1 = b
logo
b = -2
Igualando a entrada (1,3) de R-6S à de T temos
-1 - 6cdot2^-1 = c
portanto
c = -1 - 3 = -4

Passo 3

Na entrada (1,2) igualamos
16^y - 6cdot4^2y-1 = 2^2y-1 - 10
Como 16^y = 2^4y, 4^2y-1=2^4y-2 e 2^2y-1=u/2 com u=2^2y, podemos escrever
u^2 - 6u^24 = u2 - 10 ;Longrightarrow; -tfrac12u^2 = tfracu2-10 ;Longrightarrow; u^2 + u - 20 = 0
As raízes são u=4 ou u=-5 (descartamos negativo). Logo 2^2y=4 e
y = 1

Passo 4

Na entrada (2,1) igualamos
9^x - 6cdot3^x = 27
Como 9^x=(3^x)^2, defina v=3^x, obtendo
v^2 - 6v - 27 = 0 ;Longrightarrow; v=9(válido), á
de onde 3^x=9 e
x = 2

Passo 5

Na entrada (2,2) igualamos
a - 6b = 13
sabendo b=-2, então
a + 12 = 13 ;Longrightarrow; a = 1

Passo 6

Agora calculamos a soma dos quadrados:
x^2 + y^2 + a^2 + b^2 + c^2 = 2^2 + 1^2 + 1^2 + (-2)^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 1 + 4 + 16 = 26

Resposta

26

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