Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, ealcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
Sca 15. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{y} \operatorname{tg} z \mathbf{i}+y \sqrt{3-x^{2}} \mathbf{j}+x sen y \mathbf{k}, S é a superfície do sólido que está acima do plano xy e abaixo da superfície z=2-x{4}-y{4},-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos o fluxo de
F(x,y,z)=e^ytan z,i+yraiz3-x^2;j+xsin y;k
através da superfície fechada S que é o contorno do sólido
E=(x,y,z)mid -1<= x<=1,,-1<= y<=1,;0<= z<= 2 - x^4 - y^4
Conteúdo: aplicar o Teorema da Divergência
integral duplaSFcdot dS =integral triplaEl(nablacdotFr),dV

Passo 2

Calcular a divergência de F:
nablacdotF =partialpartial x(e^ytan z) +partialpartial yl(yraiz3-x^2r) +partialpartial z(xsin y)
Como e^ytan z é independente de x e xsin y de z, só sobra
nablacdotF =raiz3-x^2

Passo 3

O Teorema da Divergência dá
integral duplaSFcdot dS =integral triplaEraiz3-x^2;dV =integralx=-1^1!integraly=-1^1!integralz=0^2-x^4-y^4 raiz3-x^2;dz,dy,dx

Passo 4

Integramos em z imediatamente:
integral0^2-x^4-y^4!dz =2 - x^4 - y^4,
então
integral duplaSFcdot dS =integral-1^1!integral-1^1 l(2 - x^4-y^4r)raiz3-x^2;dy,dx

Passo 5

Integramos em y:
integral-1^1(2 - x^4-y^4),dy =2(2 - x^4)-25 =185-2x^4
Logo
integral duplaSFcdot dS =integral-1^1l(tfrac185-2x^4r)raiz3-x^2;dx

Passo 6

Como o integrando é par em x,
integral-1^1(tfrac185-2x^4)raiz3-x^2,dx =2integral0^1l(tfrac185-2x^4r)raiz3-x^2,dx
Separamos
I1=integral0^1raiz3-x^2,dx, I2=integral0^1x^4raiz3-x^2,dx,
então
integral duplaSFcdot dS =2l(tfrac185I1-2I2r) =365I1-4I2

Passo 7

Calcular
I1 =integral0^1raiz3-x^2,dx =[x2raiz3-x^2 +32arcsin!l(tfracxraiz3r)]0^1 =raiz22+32arcsin!l(tfrac1raiz3r)

Passo 8

Calcular
I2 =integral0^1x^4raiz3-x^2,dx
por substituição trigonométrica ou Beta, chegando a
I2 =2716arcsin!l(tfrac1raiz3r) -25raiz248

Passo 9

Substituindo em
,365I1-4I2,, organizando termos em
arcsin(1/raiz3) e em raiz2, obtém–se
integral duplaSFcdot dS =8120,arcsin!l(tfrac1raiz3r) +341raiz260

Resposta

boxed integral duplaSFcdot dS =8120,arcsin!l(tfrac1raiz3r) +341raiz260

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