Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície \iint_{S} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}; ou seja, ealcule o fluxo de \mathbf{F} através de S.
Sca 15. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{y} \operatorname{tg} z \mathbf{i}+y \sqrt{3-x^{2}} \mathbf{j}+x sen y \mathbf{k}, S é a superfície do sólido que está acima do plano xy e abaixo da superfície z=2-x{4}-y{4},-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1
Sca 15. \mathbf{F}(x, y, z)=e^{y} \operatorname{tg} z \mathbf{i}+y \sqrt{3-x^{2}} \mathbf{j}+x sen y \mathbf{k}, S é a superfície do sólido que está acima do plano xy e abaixo da superfície z=2-x{4}-y{4},-1 \leqslant x \leqslant 1,-1 \leqslant y \leqslant 1
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos o fluxo de
através da superfície fechada
que é o contorno do sólido
Conteúdo: aplicar o Teorema da Divergência
Passo 2
Calcular a divergência de
:
Como
é independente de
e
de
, só sobra
Passo 3
O Teorema da Divergência dá
Passo 4
Integramos em
imediatamente:
então
Passo 5
Integramos em
:
Logo
Passo 6
Como o integrando é par em
,
Separamos
então
Passo 7
Calcular
Passo 8
Calcular
por substituição trigonométrica ou Beta, chegando a
Passo 9
Substituindo em
, organizando termos em
e em
, obtém–se