Uma escada A B de comprimento a descansa sobre uma parede vertical A O. O B da escada é puxado para fora com velocidade constante v0. a) mostre que o ponto médio da escada descreve um arco de circunferência de raio a/ 2 e com centro em O. b) ache a velocidade e o seu módulo, no instante em que B esteja a uma distância b<a da parede.

Passo 1

O enunciado trata de uma escada de comprimento a apoiada entre o ponto A na parede vertical (reta AO) e o pé B no chão. O pé B afasta-se da parede com velocidade constante v0.
Conteúdo: modelagem por coordenadas cartesianas, uso do teorema de Pitágoras para impor x^2+y^2=a^2 e derivação temporal para achar velocidades.

Passo 2

Escolhemos um sistema de eixos em O, com x horizontal para a direita e y vertical para cima. Assim
B=(x(t),0), A=(0,y(t)),
e a condição de comprimento constante dá
x^2+y^2=a^2

Passo 3

O ponto médio M de AB tem coordenadas
M=l(tfracx2,;tfracy2r)
A distância de M a O vale
OM=raizl(tfracx2r)^2+l(tfracy2r)^2 =raizx^2+y^22 = a2,
ou seja, M descreve um arco de círculo de raio a/2 centrado em O.

Passo 4

Como x'=v0 e derivando x^2+y^2=a^2 obtemos
2x,x'+2y,y'=0 Longrightarrow y'=-x,x'y=-x,v0y
Logo a velocidade de M é
vM=l(x'/2,;y'/2r) =l(tfracv02,;-tfracx,v02yr)
No instante em que x=b, temos y=raiza^2-b^2, então
vM=l(tfracv02,;-tfracb,v02raiza^2-b^2r)

Passo 5

O módulo de vM é
lvert vMrvert =raizl(tfracv02r)^2+l(tfracb,v02raiza^2-b^2r)^2 =v02raiza^2-b^2+b^2a^2-b^2 =a,v02raiza^2-b^2

Resposta

vM=l(tfracv02,;-tfracb,v02raiza^2-b^2r), lvert vMrvert=a,v02raiza^2-b^2

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