Numa fábrica produzem-se x artigos por mês. Sabendo que o preço de venda é de (100-x), em reais, e que o custo da produção é dado por (0,5 x^2+70 x+50) reais, qual deve ser a produção mensal de forma que o lucro seja máximo?

Passo 1

O enunciado diz que se produzem x artigos por mês, o preço de venda por unidade é (100 - x) reais e o custo total é dado por
C(x) = 0,5,x^2 + 70,x + 50
Queremos escolher x de modo a maximizar o lucro. O conteúdo aqui é otimização de função usando derivadas.

Passo 2

Calculamos primeiro a receita mensal R(x) e depois o lucro pi(x). A receita é o número de artigos vezes o preço unitário, ou seja,
R(x) = x,(100 - x) = 100,x - x^2
O lucro é receita menos custo:
pi(x) = R(x) - C(x) = l(100,x - x^2r) - l(0,5,x^2 + 70,x + 50r)
Simplificando,
pi(x) = -1,5,x^2 + 30,x - 50

Passo 3

Para encontrar o máximo, derivamos pi(x) e igualamos a zero. A derivada é
pi'(x) = ddxl(-1,5,x^2 + 30,x - 50r) = -3,x + 30

Passo 4

Resolvendo pi'(x)=0
-3,x + 30 = 0 Longrightarrow x = 10
Como a segunda derivada
pi''(x) = -3
é negativa, esse ponto de fato é um máximo.

Resposta

A produção mensal deve ser de 10 artigos para que o lucro seja máximo.

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