Dos triângulos retângulos de hipotenusa constante, qual é o de área máxima?
Passo 1
O enunciado nos pede para determinar, dentre todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa tem comprimento fixo
, qual deles apresenta a maior área. O conteúdo envolvido é otimização de uma função (a área) sujeita à restrição de Pythagoras, e usaremos a desigualdade AM–GM para facilitar.
Passo 2
Sejam
e
os comprimentos dos catetos do triângulo retângulo e
o comprimento da hipotenusa. A condição de Pythagoras impõe
A área
do triângulo é dada por
Passo 3
Maximizar
equivale a maximizar o produto
sob a restrição
. Pela desigualdade AM–GM temos
logo
Assim, o valor máximo de
é
e, em consequência, a área máxima é
Passo 4
A igualdade na AM–GM ocorre se, e somente se,
. Portanto, o triângulo que alcança essa área máxima é o triângulo retângulo isósceles, em que
Resposta
O triângulo de área máxima, para hipotenusa fixa de comprimento
, é o triângulo retângulo isósceles com catetos iguais a
. A área máxima vale
.