Dos triângulos retângulos de hipotenusa constante, qual é o de área máxima?

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar, dentre todos os triângulos retângulos cuja hipotenusa tem comprimento fixo c, qual deles apresenta a maior área. O conteúdo envolvido é otimização de uma função (a área) sujeita à restrição de Pythagoras, e usaremos a desigualdade AM–GM para facilitar.

Passo 2

Sejam a e b os comprimentos dos catetos do triângulo retângulo e c o comprimento da hipotenusa. A condição de Pythagoras impõe
a^2 + b^2 = c^2
A área A do triângulo é dada por
A = ab2

Passo 3

Maximizar A equivale a maximizar o produto ab sob a restrição a^2 + b^2 = c^2. Pela desigualdade AM–GM temos
a^2 + b^22 >= ab,
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ab <= a^2 + b^22 = c^22
Assim, o valor máximo de ab é tfracc^22 e, em consequência, a área máxima é
Amax = 12cdot c^22 = c^24

Passo 4

A igualdade na AM–GM ocorre se, e somente se, a = b. Portanto, o triângulo que alcança essa área máxima é o triângulo retângulo isósceles, em que
a = b = craiz2

Resposta

O triângulo de área máxima, para hipotenusa fixa de comprimento c, é o triângulo retângulo isósceles com catetos iguais a tfraccraiz2. A área máxima vale tfracc^24.

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