Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=1^infty x^nn

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série de potências sumn=1^infty x^nn usando derivação e integração termo a termo; o assunto é séries de potências e vamos precisar lembrar da série geométrica e de como integrar termo a termo.

Passo 2

Começamos lembrando que, para |x|<1, a série geométrica é
sumn=0^infty x^n = 11-x

Passo 3

A ideia é obter sumn=1^infty x^nn integrando a série geométrica termo a termo, pois a integral de x^n-1 em relação a x x^n/n.

Passo 4

Escrevemos a série geométrica de forma ajustada, começando em n=1:

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x
integral sumn=1^infty x^n-1 ,dx = integral 11-x ,dx

Passo 6

No lado esquerdo a integração termo a termo é válida para |x|<1, gerando
sumn=1^infty integral x^n-1 ,dx = sumn=1^infty x^nn

Passo 7

No lado direito usamos integral 11-x ,dx = -ln(1-x) + C. Para fixar a constante, avaliamos em x=0: ambos os lados valem zero, então C=0.

Passo 8

Concluímos que, para |x|<1,
sumn=1^infty x^nn = -ln(1-x)

Resposta

-ln(1-x) para |x|<1.

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