Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a soma da série de potências
usando derivação e integração termo a termo; o assunto é séries de potências e vamos precisar lembrar da série geométrica e de como integrar termo a termo.
Passo 2
Começamos lembrando que, para
, a série geométrica é
Passo 3
A ideia é obter
integrando a série geométrica termo a termo, pois a integral de
em relação a
dá
.
Passo 4
Escrevemos a série geométrica de forma ajustada, começando em
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
Passo 6
No lado esquerdo a integração termo a termo é válida para
, gerando
Passo 7
No lado direito usamos
. Para fixar a constante, avaliamos em
: ambos os lados valem zero, então
.
Passo 8
Concluímos que, para
,