(Escada deslizante) Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
(a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
(b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
© Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.

Passo 1

A questão trata de uma escada de comprimento fixo (25 ft) escorregando pela parede, então podemos usar taxas relacionadas. Vamos chamar de x a distância da base da escada até a parede, de y a altura do topo da escada na parede, e de theta o ângulo entre a escada e a parede. Sabemos que x^2 + y^2 = 25^2 o tempo todo, que dx/dt = 2 ft/s quando x=7, e precisamos achar dy/dt, a variação da área do triângulo A=tfrac12xy, e dtheta/dt nesse instante.

Passo 2

Como x^2 + y^2 = 625, diferenciando em relação ao tempo t temos
2xdxdt + 2ydydt = 0

Passo 3

Isolando dy/dt fica
dydt = -xydxdt

Passo 4

No instante dado, x=7 ft, então y = raiz625 - 7^2 = 24 ft. Substituindo dx/dt=2 ft/s,
dydt = -724cdot 2 = -712 ft/s

Passo 5

A área do triângulo formado pela parede e pelo chão é A = tfrac12xy. Diferenciando:
dAdt = tfrac12l(xdydt + ydxdtr)

Passo 6

Substituindo x=7, y=24, dx/dt=2, e dy/dt=-7/12:
$$\frac{dA}{dt} = \tfrac12\Bigl(7\cdot(-\tfrac{7}{12}) + 24\cdot2\Bigr) = \tfrac12\cdot\frac{527}{12} = \frac{527}{24}ft^2
/s.$$

Passo 7

Para o ângulo theta entre a escada e a parede temos costheta = y/25. Diferenciando:
-sinthetadthetadt = 125dydt

Passo 8

Como sintheta = x/25, obtemos
dthetadt = -125sinthetadydt = -1xdydt

Passo 9

Substituindo x=7 e dy/dt=-7/12:
dthetadt = -17l(-712r) = 112 rad/s

Resposta

(a) -7/12 ft/s, (b) 527/24 ft²/s, © 1/12 rad/s

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