(Escada deslizante) Uma escada de 25 pés está encostada na parede de uma casa e sua base está sendo empurrada no sentido contrário ao da parede. Num certo instante, a base da escada se encontra a 7 pés da parede e está sendo empurrada a uma taxa de 2 pés por segundo.
(a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
(b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
© Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
(a) Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo nesse instante?
(b) Considere o triângulo formado pela parede da casa, a escada e o chão. Calcule a taxa de variação da área deste triângulo no instante em que a base da escada se encontra a 7 pés da parede.
© Calcule a taxa de variação do ângulo formado pela parede da casa e a escada, quando a base da escada estiver a 7 pés da parede.
Passo 1
A questão trata de uma escada de comprimento fixo (25 ft) escorregando pela parede, então podemos usar taxas relacionadas. Vamos chamar de
a distância da base da escada até a parede, de
a altura do topo da escada na parede, e de
o ângulo entre a escada e a parede. Sabemos que
o tempo todo, que
ft/s quando
, e precisamos achar
, a variação da área do triângulo
, e
nesse instante.
Passo 2
Como
, diferenciando em relação ao tempo
temos
Passo 3
Isolando
fica
Passo 4
No instante dado,
ft, então
ft. Substituindo
ft/s,
Passo 5
A área do triângulo formado pela parede e pelo chão é
. Diferenciando:
Passo 6
Substituindo
,
,
, e
:
$$\frac{dA}{dt} = \tfrac12\Bigl(7\cdot(-\tfrac{7}{12}) + 24\cdot2\Bigr) = \tfrac12\cdot\frac{527}{12} = \frac{527}{24}ft^2
/s.$$
Passo 7
Para o ângulo
entre a escada e a parede temos
. Diferenciando:
Passo 8
Como
, obtemos
Passo 9
Substituindo
e
:
Resposta
(a)
ft/s, (b)
ft²/s, ©
rad/s