Seja R-2 definida em lim x 2^- f(x). Calcule se existir:
(a) lim x 2^+ f(x).
(b) lim x 2 f(x).
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Passo 1

O enunciado pede para calcular limxto2^-f(x), limxto2^+f(x) e, a partir disso, verificar se limxto2f(x) existe, onde
f(x)=|3x^2-5x-2|x-2,
ou seja, estamos lidando com limites de uma função que envolve valor absoluto. Para resolver vamos precisar fatorar o polinômio dentro do valor absoluto e usar a definição de valor absoluto para reescrever a função de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o polinômio 3x^2-5x-2. Calculamos as raízes pela fórmula de Bhaskara: o discriminante é De, então as raízes são
x=5pm76,
isto é, x=2 e x=-tfrac13. Logo,
3x^2-5x-2=3(x-2)l(x+tfrac13r)

Passo 3

Usando essa fatoração, escrevemos
f(x)=l|3(x-2)(x+tfrac13)r|x-2 =3|x-2|x-2,l|x+tfrac13r|
Aqui usamos a definição
a)
|x-2|=x-2 se x>2 e |x-2|=-(x-2) se x<2,
b)
|x+tfrac13|=x+tfrac13 próximo de x=2 pois esse termo é positivo.

Passo 4

Para calcular limxto2^-f(x), considere x<2. Então |x-2|=-(x-2) e fica
$$f(x)=3\bigl(-1\bigr)\bigl(x+\tfrac13\bigr)=-3x-1.
f(x)=3l(-1r)l(x+tfrac13r)=-3x-1 \lim_{x\to2^-}f(x)=-3\cdot2-1=-7.
$$

Passo 5

Para limxto2^+f(x), com x>2 temos |x-2|=x-2, e assim
$$f(x)=3\cdot1\cdot\bigl(x+\tfrac13\bigr)=3x+1.
f(x)=3cdot1cdotl(x+tfrac13r)=3x+1 \lim_{x\to2^+}f(x)=3\cdot2+1=7.
$$

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( -7 e 7), concluímos que o limite limxto2f(x) não existe.

Resposta

limxto2^-f(x)=-7, limxto2^+f(x)=7,o limite em x=2 não existeã

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