Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação y(x, t)=(0,00327 m) sen(72,1 x-2,72 t), em que as constantes numéricas estão em unidades do SI (0,00327 m ; 72,1 rad / me 2,72 rad / s ).
(a) Qual é a velocidade transversal vy do elemento da corda situado no ponto x=22,5 cm no instante t=18,9 s ? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v , a velocidade constante com a qual a forma da onda se propaga na direção x.)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma onda que se propaga em uma corda, descrita pela equação . O conteúdo aqui envolve ondas transversais, que são aquelas onde a oscilação ocorre perpendicular à direção de propagação. Precisamos encontrar a velocidade transversal de um ponto específico da corda localizado em no instante . Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as unidades para o SI padrão. x = 0,225, m é igual a t = 18,9, s . Assim, temos:

Passo 3

A velocidade transversal vy = partial ypartial t é a taxa de variação da posição em relação ao tempo . Matemáticamente, isso é representado pela derivada parcial de em relação a :

Passo 4

Vamos derivar a função y(x, t) = 0,00327, m cdot sin(72,1,x - 2,72,t) em relação a dudt = -2,72 :
vy = 0,00327, m cdot cos(72,1,x - 2,72,t) cdot (-2,72)
A derivada de vy = -0,00327, m cdot 2,72 cdot cos(72,1,x - 2,72,t) em relação a é . Aqui, , então:
Portanto,
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores de vy = -0,00327, m cdot 2,72 cdot cos(72,1 cdot 0,225 - 2,72 cdot 18,9) e na equação de :

Passo 6

Vamos calcular o argumento do cosseno primeiro:
72,1 cdot 0,225 = 16,2225
2,72 cdot 18,9 = 51,408
Então:
72,1,x - 2,72,t = 16,2225 - 51,408 = -35,1855
Como o cosseno é uma função par, .

Passo 7

Calculando cos(35,1855) approx 0,819 :
Vamos usar uma calculadora científica para encontrar este valor. Supondo que o ângulo esteja em radianos:
(valor aproximado)

Passo 8

Agora, substituímos de volta na equação de vy = -0,00327, m cdot 2,72 cdot 0,819 :
vy approx -0,00327 cdot 2,72 cdot 0,819
Multiplicando os números:
vy approx -0,00727, m/s

Resposta

A velocidade transversal do elemento da corda em no instante é aproximadamente .

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