Uma onda que se propaga em uma corda é descrita pela equação
, em que as constantes numéricas estão em unidades do SI
me
).
(a) Qual é a velocidade transversal
do elemento da corda situado no ponto
no instante
? (Essa velocidade, associada à oscilação transversal de um elemento da corda, é uma velocidade na direção y que varia com o tempo e não deve ser confundida com v , a velocidade constante com a qual a forma da onda se propaga na direção x.)
(a) Qual é a velocidade transversal
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma onda que se propaga em uma corda, descrita pela equação
. O conteúdo aqui envolve ondas transversais, que são aquelas onde a oscilação ocorre perpendicular à direção de propagação. Precisamos encontrar a velocidade transversal
de um ponto específico da corda localizado em
no instante
. Para isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as unidades para o SI padrão.
é igual a
. Assim, temos:
Passo 3
A velocidade transversal
é a taxa de variação da posição
em relação ao tempo
. Matemáticamente, isso é representado pela derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Vamos derivar a função
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então:
Portanto,
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores de
e
na equação de
:
Passo 6
Vamos calcular o argumento do cosseno primeiro:
Então:
Como o cosseno é uma função par,
.
Passo 7
Calculando
:
Vamos usar uma calculadora científica para encontrar este valor. Supondo que o ângulo esteja em radianos:
Vamos usar uma calculadora científica para encontrar este valor. Supondo que o ângulo esteja em radianos:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na equação de
:
Multiplicando os números:
Resposta
A velocidade transversal
do elemento da corda em
no instante
é aproximadamente
.