1. Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Seja \theta o ângulo entre o topo da escada e a parede e x, a distância do pé da escada até a parede. Se o pé da escada escorregar para longe da parede, com que velocidade x variará em relação a \theta quando \theta=\pi / 3 ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Comprimento da escada: 6\\ \mathrm{m}.
  • \theta é o ângulo entre a escada e a parede (ou seja, o ângulo no topo, medido entre a escada e a vertical).
  • x é a distância do pé da escada até a parede (o cateto horizontal do triângulo retângulo formado pela parede, pelo chão e pela escada).
    O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade de variação de x em relação a \theta, isto é calcular \dfrac{dx}{d\theta}, no instante em que \theta=\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

Descrever a relação geométrica entre x, \theta e o comprimento da escada. Como temos um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao comprimento da escada 6\\ \mathrm{m}, e \theta é o ângulo entre a escada e a parede (vertical), o cateto horizontal x é o cateto oposto ao ângulo \theta. Pela definição da função seno num triângulo retângulo:
\sin(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}=\frac{x}{6}.
Isolando x obtemos a relação funcional:
x=6\sin(\theta).

Passo 3

Explicar o que significa \dfrac{dx}{d\theta} e a regra que vamos usar. \dfrac{dx}{d\theta} é a taxa de variação de x quando \theta varia; em linguagem de derivadas, queremos derivar a função x(\theta)=6\sin(\theta) em relação a \theta.
Lembrete útil sobre derivadas trigonométricas (válido quando o ângulo está em radianos): a derivada de \sin(\theta) em relação a \theta é \cos(\theta). Assim, usando a regra do fator constante:
\frac{d}{d\theta}\big(6\sin(\theta)\big)=6\frac{d}{d\theta}\sin(\theta)=6\cos(\theta).

Passo 4

Aplicar a fórmula encontrada para obter \dfrac{dx}{d\theta}:
\frac{dx}{d\theta}=6\cos(\theta).
Observação sobre unidades: como x está em metros e \theta é um ângulo em radianos, a unidade de \dfrac{dx}{d\theta} será \mathrm{m/rad}.

Passo 5

Avaliar \dfrac{dx}{d\theta} em \theta=\dfrac{\pi}{3}. Sabendo que \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}, substituímos:
\left.\frac{dx}{d\theta}\right|_{\theta=\pi/3}=6\cdot\frac{1}{2}=3.
Portanto a velocidade de variação de x em relação a \theta naquele instante é 3\\ \mathrm{m/rad}. Intuitivamente: quando \theta aumenta (a escada gira afastando-se da parede), x aumenta; o sinal positivo confirma isso.

Resposta

\,3\\ \mathrm{m/rad}

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