Uma escada com 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Seja \theta o ângulo entre o topo da escada e a parede e x, a distância do pé da escada até a parede. Se o pé da escada escorregar para longe da parede, com que velocidade x variará em relação a \theta quando \theta=\pi / 3 ?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
Comprimento da escada: 6\\ \mathrm{m}.
\theta é o ângulo entre a escada e a parede (ou seja, o ângulo no topo, medido entre a escada e a vertical).
x é a distância do pé da escada até a parede (o cateto horizontal do triângulo retângulo formado pela parede, pelo chão e pela escada).
O que o problema pede:
Determinar a velocidade de variação de x em relação a \theta, isto é calcular \dfrac{dx}{d\theta}, no instante em que \theta=\dfrac{\pi}{3}.
Passo 2
Descrever a relação geométrica entre x, \theta e o comprimento da escada. Como temos um triângulo retângulo com hipotenusa igual ao comprimento da escada 6\\ \mathrm{m}, e \theta é o ângulo entre a escada e a parede (vertical), o cateto horizontal x é o cateto oposto ao ângulo \theta. Pela definição da função seno num triângulo retângulo:
Explicar o que significa \dfrac{dx}{d\theta} e a regra que vamos usar. \dfrac{dx}{d\theta} é a taxa de variação de x quando \theta varia; em linguagem de derivadas, queremos derivar a função x(\theta)=6\sin(\theta) em relação a \theta.
Lembrete útil sobre derivadas trigonométricas (válido quando o ângulo está em radianos): a derivada de \sin(\theta) em relação a \theta é \cos(\theta). Assim, usando a regra do fator constante:
Portanto a velocidade de variação de x em relação a \theta naquele instante é 3\\ \mathrm{m/rad}. Intuitivamente: quando \theta aumenta (a escada gira afastando-se da parede), x aumenta; o sinal positivo confirma isso.