Se f(x)=e^{x} \cos x, encontre f^{\prime}(x) e f^{\prime \prime}(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede as suas duas primeiras derivadas. Vou listar claramente:
  • Função dada: f(x)=e^{x}\cos x.
  • O que pedem: encontrar f^{\prime}(x) (a primeira derivada) e f^{\prime\prime}(x) (a segunda derivada).
Informações relevantes que temos (tudo extraído do enunciado):
  • A variável independente é x (presumimos x\in\mathbb{R}).
  • Funções elementares envolvidas: a exponencial \,e^{x}\, e o cosseno \cos x.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (cada fórmula é mostrada e explicada):
  • Derivada da exponencial: a derivada de \,e^{x}\, em relação a x é
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
Isto significa que a função exponencial se replica quando derivada: a taxa de variação de e^{x} é exatamente e^{x}.
  • Derivadas de seno e cosseno:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
Ou seja, derivar desloca entre seno e cosseno e introduz um sinal negativo no caso do cosseno.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)v(x)\bigr)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Isso quer dizer: derive a primeira e multiplique pela segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo à nossa função f(x)=e^{x}\cos x.

Passo 3

Cálculo da primeira derivada \,f^{\prime}(x).
  • Identifico as partes do produto:
    • u(x)=e^{x} e v(x)=\cos x.
  • Calculo as derivadas individuais:
    • u'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
    • v'(x)=\dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Aplico a regra do produto:
f^{\prime}(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=e^{x}\cos x+e^{x}(-\sin x).
  • Faço a simplificação e fatoração por e^{x}:
f^{\prime}(x)=e^{x}\bigl(\cos x-\sin x\bigr).
Comentário amigo: dá pra ver que as duas parcelas tinham um fator comum e^{x}, por isso o resultado fica mais compacto e fácil de derivar de novo se necessário.

Passo 4

Planejamento para a segunda derivada \,f^{\prime\prime}(x).
  • Agora vamos derivar \,f^{\prime}(x)=e^{x}(\cos x-\sin x).
  • Novamente é produto de duas funções: U(x)=e^{x} e W(x)=\cos x-\sin x.
  • Vou aplicar a regra do produto outra vez, lembrando de derivar W(x) usando as regras do seno e cosseno.

Passo 5

Cálculo da segunda derivada \,f^{\prime\prime}(x).
  • Derivadas individuais para aplicar a regra do produto:
    • U'(x)=\dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}.
    • W(x)=\cos x-\sin x então
    W'(x)=\dfrac{d}{dx}(\cos x-\sin x)=-\sin x-\cos x.(Derivada de \cos x é -\sin x; derivada de -\sin x é -\cos x.)
  • Aplico a regra do produto:
f^{\prime\prime}(x)=U'(x)W(x)+U(x)W'(x)=e^{x}(\cos x-\sin x)+e^{x}(-\sin x-\cos x).
  • Agora simplifico somando os termos dentro dos parênteses:
    • Some os dois parênteses: (\cos x-\sin x)+(-\sin x-\cos x).
    • Isso dá \cos x-\sin x-\sin x-\cos x=-2\sin x.
  • Portanto:
f^{\prime\prime}(x)=e^{x}\bigl(-2\sin x\bigr)=-2e^{x}\sin x.
Pequena verificação mental: se expandirmos desde o início teríamos o mesmo resultado; as cancelas entre \cos x e -\cos x ocorrem naturalmente, sobrando só o termo em \sin x.

Passo 6

Resumo final (para fixar): obtivemos expressões simples e prontas para usar em prova. Lembre-se: a estratégia foi usar regra do produto duas vezes e as derivadas básicas de e^{x}, \sin x e \cos x. Se ficar nervoso na prova, escreva claramente cada u,v e suas derivadas antes de aplicar a regra do produto — isso evita erros bobos.

Resposta

f^{\prime}(x)=e^{x}\bigl(\cos x-\sin x\bigr)
f^{\prime\prime}(x)=-2\,e^{x}\sin x

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