Se
, encontre
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as suas duas primeiras derivadas. Vou listar claramente:
- Função dada:
. - O que pedem: encontrar
(a primeira derivada) e (a segunda derivada).
Informações relevantes que temos (tudo extraído do enunciado):
- A variável independente é
(presumimos ). - Funções elementares envolvidas: a exponencial
e o cosseno .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (cada fórmula é mostrada e explicada):
- Derivada da exponencial: a derivada de
em relação a é
Isto significa que a função exponencial se replica quando derivada: a taxa de variação de
é exatamente
.
- Derivadas de seno e cosseno:
Ou seja, derivar desloca entre seno e cosseno e introduz um sinal negativo no caso do cosseno.
- Regra do produto: se
e são funções diferenciáveis, então
Isso quer dizer: derive a primeira e multiplique pela segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Vamos aplicar essas fórmulas passo a passo à nossa função
.
Passo 3
Cálculo da primeira derivada
.
- Identifico as partes do produto:
-
e .
-
- Calculo as derivadas individuais:
-
. -
.
-
- Aplico a regra do produto:
- Faço a simplificação e fatoração por
:
Comentário amigo: dá pra ver que as duas parcelas tinham um fator comum
, por isso o resultado fica mais compacto e fácil de derivar de novo se necessário.
Passo 4
Planejamento para a segunda derivada
.
- Agora vamos derivar
. - Novamente é produto de duas funções:
e . - Vou aplicar a regra do produto outra vez, lembrando de derivar
usando as regras do seno e cosseno.
Passo 5
Cálculo da segunda derivada
.
- Derivadas individuais para aplicar a regra do produto:
-
. -
então
(Derivada de é ; derivada de é .) -
- Aplico a regra do produto:
- Agora simplifico somando os termos dentro dos parênteses:
- Some os dois parênteses:
. - Isso dá
.
- Some os dois parênteses:
- Portanto:
Pequena verificação mental: se expandirmos desde o início teríamos o mesmo resultado; as cancelas entre
e
ocorrem naturalmente, sobrando só o termo em
.
Passo 6
Resumo final (para fixar): obtivemos expressões simples e prontas para usar em prova. Lembre-se: a estratégia foi usar regra do produto duas vezes e as derivadas básicas de
,
e
. Se ficar nervoso na prova, escreva claramente cada
e suas derivadas antes de aplicar a regra do produto — isso evita erros bobos.