1. Se H(\theta)=\theta sen \theta, encontre H^{\prime}(\theta) e H^{\prime \prime}(\theta).

Passo 1

O enunciado dá a função H(\theta)=\theta\sin\theta e pede duas coisas:
  • encontrar H'(\theta) (a primeira derivada);
  • encontrar H''(\theta) (a segunda derivada).
As informações relevantes são apenas a expressão de H(\theta).

Passo 2

Lembrete das regras de derivação que vamos usar (não pularei etapas):
  • Regra do produto: se f(\theta) e g(\theta) são funções, então
(fg)' = f'\,g + f\,g'.
Aqui f' significa \dfrac{d f}{d\theta} e g' significa \dfrac{d g}{d\theta}.
  • Derivadas básicas que usaremos:
    • \dfrac{d}{d\theta}\big(\theta\big)=1.
    • \dfrac{d}{d\theta}\big(\sin\theta\big)=\cos\theta.
    • \dfrac{d}{d\theta}\big(\cos\theta\big)=-\sin\theta.

Passo 3

Aplicando a regra do produto a H(\theta)=\theta\sin\theta. Tome
f(\theta)=\theta,\qquad g(\theta)=\sin\theta.
Então
f'(\theta)=1,\qquad g'(\theta)=\cos\theta.
Pela regra do produto:
H'(\theta)=f'(\theta)g(\theta)+f(\theta)g'(\theta)=1\cdot\sin\theta+\theta\cdot\cos\theta.
Portanto, simplificando,
H'(\theta)=\sin\theta+\theta\cos\theta.

Passo 4

Agora vamos obter H''(\theta). Podemos derivar termo a termo a expressão encontrada para H'(\theta):
H'(\theta)=\sin\theta+\theta\cos\theta.
A derivada de \sin\theta é \cos\theta. Resta derivar \theta\cos\theta, que é outro produto.

Passo 5

Derivando \theta\cos\theta por regra do produto: tome
u(\theta)=\theta,\qquad v(\theta)=\cos\theta.
Então
u'(\theta)=1,\qquad v'(\theta)=-\sin\theta,
e
\frac{d}{d\theta}\big(\theta\cos\theta\big)=u'v+u v'=1\cdot\cos\theta+\theta\cdot(-\sin\theta)=\cos\theta-\theta\sin\theta.

Passo 6

Somando as derivadas dos termos de H'(\theta):
H''(\theta)=\frac{d}{d\theta}\big(\sin\theta\big)+\frac{d}{d\theta}\big(\theta\cos\theta\big) =\cos\theta+\big(\cos\theta-\theta\sin\theta\big).
Simplificando:
H''(\theta)=2\cos\theta-\theta\sin\theta.

Resposta

H'(\theta)=\sin\theta+\theta\cos\theta
H''(\theta)=2\cos\theta-\theta\sin\theta

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