1. Uma escada que mede 3.40 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical e forma um ângulo de 60^{\circ} \mathrm{com} o plano horizontal. Se uma pessoa está no topo da escada, a que altura ela se encontra do chão?
    Use: \operatorname{sen} 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2} ; \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2} ; \operatorname{cg} 60^{\circ}-\sqrt{3}
    a) 1,7 \mathrm{~m}
    b) 3,4 \mathrm{~m}
    c) 1.7 \sqrt{3} \mathrm{~m}
    d) 3.7 \sqrt{3} \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz esta pergunta:
  • Comprimento da escada: \,3,40\\ \text{m}.
  • A escada forma um ângulo de \,60^\circ com o plano horizontal.
  • Pergunta: “Se uma pessoa está no topo da escada, a que altura ela se encontra do chão?”
    Ou seja, precisamos calcular a distância vertical do topo da escada até o chão (a altura).

Passo 2

Visualize a situação como um triângulo retângulo: a escada é a hipotenusa, a parede vertical é o cateto oposto ao ângulo de \,60^\circ e o chão é o cateto adjacente. Vou chamar:
  • \,L = comprimento da escada (hipotenusa) = \,3,40\\ \text{m}.
  • \,h = altura que queremos (cateto oposto ao ângulo \,60^\circ).
Não estamos resolvendo ainda, só organizando os lados do triângulo.

Passo 3

Relembrando a definição trigonométrica que vamos usar (aula rápida e prática): para um triângulo retângulo com ângulo \theta, a função seno é definida por
\sin\theta = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui: \theta=60^\circ, o cateto oposto é \,h e a hipotenusa é \,L. Então podemos escrever a relação apropriada para este problema.

Passo 4

Aplicando a definição ao nosso triângulo e substituindo os símbolos:
\sin 60^\circ = \frac{h}{L}.
Sabemos do enunciado (e da trigonometria padrão) que
\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},
e que L = 3,40. Substituindo,
\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{h}{3,40}.

Passo 5

Agora isolamos h. Multiplicamos ambos os lados por \,3,40:
h = 3,40\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}.
Podemos simplificar a multiplicação por \frac{1}{2} dividindo \,3,40 por \,2:
h = \frac{3,40}{2}\sqrt{3} = 1,70\sqrt{3}.
Pronto: a altura em forma exata é \,1,70\sqrt{3}\\ \text{m}.

Passo 6

Para ter uma ideia numérica (opcional): \sqrt{3}\approx 1,732, então
h \approx 1,70\times 1,732 \approx 2,94\\ \text{m}.
Mas a forma exata \,1,70\sqrt{3}\\ \text{m} já corresponde a uma das alternativas.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a opção que coincide com o resultado \,1,70\sqrt{3}\\ \text{m} é a alternativa (c).

Resposta

c) 1,70\sqrt{3}\\ \text{m}

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