2^{\text {a }} Questão: ( 25 pontos) Um tanque com uma capacidade de 100 litros originalmente contém 20 litros de água com 1 kg de alumínio dissolvidos, Agua contendo 0.2 kg de alumínio por litro entra no tanque a uma taxa de 3 litros por minuto. A solução bem misturada sai do tanque à uma taxa de 1 litros por uto. Seja Q(t) a quantidade de alumínio no tanque (em kg) no tempo t.
(a) Encontre um problema de valor inicial para Q(t).
(b) Determine a expressão de Q(t) resolvendo o problema de valor inicial anterior.
(c) Encontre a quantidade de sal quando o tanque fica cheio.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que temos):
  • O enunciado define Q(t) como a quantidade de alumínio (em kg) no tanque no tempo t (minutos).
  • Capacidade do tanque: 100 litros.
  • Volume inicial no tanque: 20 litros.
  • Quantidade inicial de alumínio: Q(0)=1 kg.
  • Água que entra tem concentração de 0{,}2 kg de alumínio por litro.
  • Vazão de entrada: 3 litros por minuto.
  • Vazão de saída: 1 litro por minuto.
  • A solução está bem misturada (ou seja, a concentração dentro do tanque é homogênea instantaneamente).
  • Perguntas:
    (a) Formular o problema de valor inicial para Q(t) (equação diferencial + condição inicial).
    (b) Resolver esse problema e obter Q(t).
    (c) Encontrar a quantidade de alumínio quando o tanque fica cheio.

Passo 2

Montando a equação diferencial (modelo de mistura) — explicando o raciocínio passo a passo:
  • Princípio básico: a variação de Q é “entrada de alumínio” menos “saída de alumínio”: \frac{dQ}{dt} = \text{(taxa de entrada de alumínio)} - \text{(taxa de saída de alumínio)}.ííí
  • Taxa de entrada: concentração da entrada \times vazão de entrada.
    A concentração é 0{,}2 kg/L e a vazão é 3 L/min, logo \text{taxa de entrada} = 0{,}2 \cdot 3 = 0{,}6\\ \text{kg/min}.
  • Taxa de saída: a concentração dentro do tanque é \dfrac{Q(t)}{V(t)} (kg por litro), multiplicada pela vazão de saída 1 L/min, portanto \text{taxa de saída} = \frac{Q(t)}{V(t)}\cdot 1 = \frac{Q(t)}{V(t)}.í
  • Volume no tanque muda no tempo porque entra mais líquido do que sai: vazão líquida =3-1=2 L/min, assim V(t)=20+2t\quad\text{(litros)}.
  • Substituindo, obtemos a equação diferencial: \frac{dQ}{dt} = 0{,}6 - \frac{Q}{20+2t},com condição inicial Q(0)=1.
Isto responde a parte (a).

Passo 3

Colocando a equação na forma linear padrão e identificando coeficientes:
  • Escrevemos a equação como \frac{dQ}{dt} + \frac{1}{20+2t}\,Q = 0{,}6.
  • Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo \frac{dQ}{dt} + p(t)Q = g(t),com p(t)=\dfrac{1}{20+2t} e g(t)=0{,}6.

Passo 4

Método do fator integrante — explicação e cálculo do fator integrante:
  • O fator integrante \mu(t) é dado por \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{1}{20+2t}\,dt\right).
  • Calculamos a integral: \int \frac{1}{20+2t}\,dt = \frac{1}{2}\ln(20+2t),logo \mu(t)=\exp\!\bigg(\tfrac{1}{2}\ln(20+2t)\bigg)=(20+2t)^{1/2}.
  • Multiplicando a equação original por \mu(t) transforma-a em uma derivada do produto: (20+2t)^{1/2}\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{20+2t}(20+2t)^{1/2}Q = 0{,}6(20+2t)^{1/2},isto é \frac{d}{dt}\Big(Q(20+2t)^{1/2}\Big) = 0{,}6(20+2t)^{1/2}.

Passo 5

Integração para obter Q(t) — mostrando substituição e contas:
  • Integramos ambos os lados em t: Q(20+2t)^{1/2} = 0{,}6\int (20+2t)^{1/2}\,dt + C.
  • Fazemos a substituição u=20+2t, assim du=2\,dt e dt=\dfrac{du}{2}. Então \int (20+2t)^{1/2}\,dt = \int u^{1/2}\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = \frac{1}{3}u^{3/2}.
  • Voltando a t, Q(20+2t)^{1/2} = 0{,}6\cdot\frac{1}{3}(20+2t)^{3/2} + C = 0{,}2(20+2t)^{3/2} + C.
  • Dividindo por (20+2t)^{1/2}, Q(t) = 0{,}2(20+2t) + C(20+2t)^{-1/2}.
  • Expandindo a primeira parte: 0{,}2(20+2t)=4+0{,}4t. Assim Q(t)=4+0{,}4t + C(20+2t)^{-1/2}.

Passo 6

Determinar a constante C usando Q(0)=1 — cálculo explícito:
  • Em t=0 temos 20+2t=20, então 1=Q(0)=4 + C(20)^{-1/2}.
  • Assim C(20)^{-1/2}=1-4=-3 \quad\Rightarrow\quad C=-3\sqrt{20}.
  • Como \sqrt{20}=2\sqrt5, pode-se escrever C=-6\sqrt5.

Passo 7

Expressão final de Q(t) e domínio de validade:
  • Substituindo C em Q(t) obtemos Q(t)=4+0{,}4t -6\sqrt{5}\,(20+2t)^{-1/2}.
  • Observação prática: o modelo vale enquanto o tanque não transbordar. O volume V(t)=20+2t alcança 100 litros quando 20+2t=100, ou seja em t=40 minutos. Portanto consideramos 0\le t\le 40.

Passo 8

Quantidade de alumínio quando o tanque fica cheio ( t=40) — cálculo exato e aproximado:
  • Avaliando em t=40: 20+2t=100 e (20+2t)^{1/2}=10. Logo Q(40)=4+0{,}4\cdot 40 + \frac{-6\sqrt5}{10}.
  • Calculando os termos: 4+0{,}4\cdot 40 = 4+16=20,e \frac{-6\sqrt5}{10} = -\frac{3\sqrt5}{5}.
  • Portanto, valor exato: Q(40)=20-\frac{3\sqrt5}{5}.
  • Aproximação numérica (para intuição): \sqrt5\approx 2{,}23607 implica Q(40)\approx 20 - 0{,}6\times 2{,}23607 \approx 18{,}6584\\ \text{kg}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dQ}{dt}=0{,}6-\frac{Q}{20+2t},\quad Q(0)=1.
(b) \displaystyle Q(t)=4+0{,}4t-6\sqrt{5}\,(20+2t)^{-1/2}. para 0\le t\le 40.
(c) \displaystyle Q(40)=20-\frac{3\sqrt5}{5}\approx 18{,}6584\\ \text{kg}.

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