Questão: ( 25 pontos) Um tanque com uma capacidade de 100 litros originalmente contém 20 litros de água com 1 kg de alumínio dissolvidos, Agua contendo 0.2 kg de alumínio por litro entra no tanque a uma taxa de 3 litros por minuto. A solução bem misturada sai do tanque à uma taxa de 1 litros por uto. Seja
a quantidade de alumínio no tanque (em kg) no tempo
.
(a) Encontre um problema de valor inicial para
.
(b) Determine a expressão de
resolvendo o problema de valor inicial anterior.
(c) Encontre a quantidade de sal quando o tanque fica cheio.
(a) Encontre um problema de valor inicial para
(b) Determine a expressão de
(c) Encontre a quantidade de sal quando o tanque fica cheio.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que é pedido e o que temos):
- O enunciado define
como a quantidade de alumínio (em kg) no tanque no tempo (minutos). - Capacidade do tanque:
litros. - Volume inicial no tanque:
litros. - Quantidade inicial de alumínio:
kg. - Água que entra tem concentração de
kg de alumínio por litro. - Vazão de entrada:
litros por minuto. - Vazão de saída:
litro por minuto. - A solução está bem misturada (ou seja, a concentração dentro do tanque é homogênea instantaneamente).
- Perguntas:
(a) Formular o problema de valor inicial para(equação diferencial + condição inicial).
(b) Resolver esse problema e obter.
(c) Encontrar a quantidade de alumínio quando o tanque fica cheio.
Passo 2
Montando a equação diferencial (modelo de mistura) — explicando o raciocínio passo a passo:
- Princípio básico: a variação de
é “entrada de alumínio” menos “saída de alumínio”: - Taxa de entrada: concentração da entrada
vazão de entrada.
A concentração ékg/L e a vazão é L/min, logo - Taxa de saída: a concentração dentro do tanque é
(kg por litro), multiplicada pela vazão de saída L/min, portanto - Volume no tanque muda no tempo porque entra mais líquido do que sai: vazão líquida
L/min, assim - Substituindo, obtemos a equação diferencial:
com condição inicial
Isto responde a parte (a).
Passo 3
Colocando a equação na forma linear padrão e identificando coeficientes:
- Escrevemos a equação como
- Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo
com e .
Passo 4
Método do fator integrante — explicação e cálculo do fator integrante:
- O fator integrante
é dado por - Calculamos a integral:
logo - Multiplicando a equação original por
transforma-a em uma derivada do produto: isto é
Passo 5
Integração para obter
— mostrando substituição e contas:
- Integramos ambos os lados em
: - Fazemos a substituição
, assim e . Então - Voltando a
, - Dividindo por
, - Expandindo a primeira parte:
. Assim
Passo 6
Determinar a constante
usando
— cálculo explícito:
- Em
temos , então - Assim
- Como
, pode-se escrever .
Passo 7
Expressão final de
e domínio de validade:
- Substituindo
em obtemos - Observação prática: o modelo vale enquanto o tanque não transbordar. O volume
alcança litros quando , ou seja em minutos. Portanto consideramos .
Passo 8
Quantidade de alumínio quando o tanque fica cheio (
) — cálculo exato e aproximado:
- Avaliando em
: e . Logo - Calculando os termos:
e - Portanto, valor exato:
- Aproximação numérica (para intuição):
implica
Resposta
(a)
(b) para
.
(c)
(b)
(c)