3^{a} Questão: (20 pontos) Considere a sequinte E.D.O. seguinte:
\left(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\right) d x+\left(2 y+x^{3}\right) d y=0
(a) Verifique que a equação não é eXATA e encontre um FATOR INTEGRANTE adequado.
(b) Resolva a EDO dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial implícita
\left(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\right) d x+\left(2 y+x^{3}\right) d y=0
e pede duas coisas:
(a) Verificar que a equação não é exata e encontrar um fator integrante adequado.
(b) Resolver a EDO dada (ou seja, encontrar a solução implícita/ explícita se possível).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
M(x,y)=3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y, \qquad N(x,y)=2 y+x^{3}.

Passo 2

Verificar exatidão: a equação é exata se e somente se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Vamos calcular as derivadas parciais (com x e y tratados como variáveis independentes).
Calculemos \partial M/\partial y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\right) =3 x^{2}+6 y+3 x^{3}.
Calculemos \partial N/\partial x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2 y+x^{3}\right) =3 x^{2}.
Comparando,
\frac{\partial M}{\partial y}=3 x^{2}+6 y+3 x^{3} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}=3 x^{2},
logo \partial M/\partial y\neq\partial N/\partial x. Portanto a equação NÃO é exata. (Parte (a) — primeira exigência — verificada.)

Passo 3

Estratégia para achar um fator integrante: buscamos um fator integrante que dependa só de x (mais simples) ou só de y. Existe um critério prático:
  • Se a quantidade
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
depender apenas de x, então existe um fator integrante \mu(x) dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\right).
  • Analogamente, se
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M}
depender apenas de y, existe um fator integrante \mu(y)=\exp\!\left(\int \text{essa função em }y\,dy\right)çã.
Vou testar o primeiro critério (procurar \mu(x)), pois costuma ser mais direto.

Passo 4

Calculemos a expressão do critério:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{(3 x^{2}+6 y+3 x^{3})-(3 x^{2})}{2 y+x^{3}} =\frac{6 y+3 x^{3}}{2 y+x^{3}}.
Note que no numerador podemos fatorar 3:
\frac{6 y+3 x^{3}}{2 y+x^{3}}=\frac{3(2 y+x^{3})}{2 y+x^{3}}=3.
Surpresa boa: o quociente é a constante 3, que é função apenas de x (na verdade constante). Portanto existe um fator integrante que depende somente de x, dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int 3\,dx\right)=\exp(3x)=e^{3x}.
Assim encontramos o fator integrante requisitado (parte (a) concluída): \mu(x)=e^{3x}.

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante \mu(x)=e^{3x}. Obtemos a nova equação
\underbrace{e^{3x}\bigl(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\bigr)}_{\tilde M(x,y)}\,dx +\underbrace{e^{3x}\bigl(2 y+x^{3}\bigr)}_{\tilde N(x,y)}\,dy=0.
Para ficar explícito:
\tilde M(x,y)=e^{3x}\bigl(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\bigr), \qquad \tilde N(x,y)=e^{3x}\bigl(2 y+x^{3}\bigr).

Passo 6

Verificação rápida de que a nova equação é exata (checar consistência): calcule \partial\tilde M/\partial y e \partial\tilde N/\partial x.
Primeiro,
\frac{\partial\tilde M}{\partial y} = e^{3x}\bigl(3 x^{2}+6 y+3 x^{3}\bigr)
(usamos que e^{3x} é constante em relação a y).
Segundo,
\frac{\partial\tilde N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{3x}(2 y+x^{3})\bigr) = e^{3x}\bigl(3(2 y+x^{3})\bigr)+e^{3x}\cdot 3 x^{2}
mas é mais simples reorganizar: aplicar a regra do produto:
\frac{\partial\tilde N}{\partial x} =3 e^{3x}(2 y+x^{3}) + e^{3x}\cdot 3 x^{2}.
Agora simplificando:
3(2 y+x^{3})+3 x^{2}=6 y+3 x^{3}+3 x^{2},
multiplicado por e^{3x} dá exatamente
e^{3x}\bigl(3 x^{2}+6 y+3 x^{3}\bigr),
ou seja \partial\tilde M/\partial y=\partial\tilde N/\partial x. Logo a equação multiplicada por e^{3x} é exata — ótimo!
(Se preferir, pode observar o arranjo mais direto: como construímos \mu com a condição do critério, a exatidão fica garantida.)

Passo 7

Resolver a equação exata: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\tilde M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\tilde N(x,y).
Integrando \tilde M em relação a x (tratando y como constante) obtemos \Phi até uma função arbitrária de y, digamos h(y).
Observe que \tilde M=e^{3x}\bigl(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\bigr). Uma maneira limpa de integrar é procurar \Phi na forma e^{3x}\cdot f(x,y) porque a derivada de e^{3x} f em relação a x é e^{3x}(3 f+f_x). Então procuramos f tal que
3 f + \frac{\partial f}{\partial x}=3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y.
Tente f(x,y)=x^{3}y+y^{2}. Então
\frac{\partial f}{\partial x}=3 x^{2} y,
e
3 f + \frac{\partial f}{\partial x} =3(x^{3}y+y^{2})+3 x^{2} y =3 x^{3} y + 3 y^{2} + 3 x^{2} y,
que coincide com o que queremos. Portanto
\Phi(x,y)=e^{3x}\bigl(x^{3}y+y^{2}\bigr)+h(y).

Passo 8

Agora impomos a segunda condição exata: \partial \Phi/\partial y=\tilde N. Calculemos \partial \Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = e^{3x}\bigl(x^{3}+2y\bigr)+h'(y).
Mas sabemos que isso deve ser igual a
\tilde N(x,y)=e^{3x}\bigl(2 y+x^{3}\bigr)=e^{3x}\bigl(x^{3}+2y\bigr).
Comparando, obtemos h'(y)=0, ou seja h(y) é constante. Portanto a função potencial completa é, até constante,
\Phi(x,y)=e^{3x}\bigl(x^{3}y+y^{2}\bigr)+\text{const}.

Passo 9

A solução geral implícita da EDO exata (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
e^{3x}\bigl(x^{3}y+y^{2}\bigr)=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos também escrever fatorando y:
e^{3x}\,y\bigl(x^{3}+y\bigr)=C.
Essa é a solução geral implícita da EDO dada. Se for necessário, poderíamos tentar resolver para y explicitamente, mas isso leva a uma equação quadrática em y num fator com exponencial em x; na maioria dos contextos a forma implícita acima é a resposta aceitável.

Resposta

(a) A equação não é exata; um fator integrante adequado é \mu(x)=e^{3x}.
(b) A solução geral (implícita) é \;e^{3x}\bigl(x^{3}y+y^{2}\bigr)=C.

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