3^{a} Questão: (20 pontos) Considere a sequinte E.D.O. seguinte:
\left(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\right) d x+\left(2 y+x^{3}\right) d y=0
(a) Verifique que a equação não é eXATA e encontre um FATOR INTEGRANTE adequado.
(b) Resolva a EDO dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial implícita
\left(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\right) d x+\left(2 y+x^{3}\right) d y=0
e pede duas coisas:
(a) Verificar que a equação não é exata e encontrar um fator integrante adequado.
(b) Resolver a EDO dada (ou seja, encontrar a solução implícita/ explícita se possível).
Informações relevantes que extraí do enunciado:
M(x,y)=3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y, \qquad N(x,y)=2 y+x^{3}.
Passo 2
Verificar exatidão: a equação é exata se e somente se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x. Vamos calcular as derivadas parciais (com x e y tratados como variáveis independentes).
Surpresa boa: o quociente é a constante 3, que é função apenas de x (na verdade constante). Portanto existe um fator integrante que depende somente de x, dado por
Integrando \tilde M em relação a x (tratando y como constante) obtemos \Phi até uma função arbitrária de y, digamos h(y).
Observe que \tilde M=e^{3x}\bigl(3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y\bigr). Uma maneira limpa de integrar é procurar \Phi na forma e^{3x}\cdot f(x,y) porque a derivada de e^{3x} f em relação a x é e^{3x}(3 f+f_x). Então procuramos f tal que
3 f + \frac{\partial f}{\partial x}=3 x^{2} y+3 y^{2}+3 x^{3} y.
Tente f(x,y)=x^{3}y+y^{2}. Então
\frac{\partial f}{\partial x}=3 x^{2} y,
e
3 f + \frac{\partial f}{\partial x} =3(x^{3}y+y^{2})+3 x^{2} y =3 x^{3} y + 3 y^{2} + 3 x^{2} y,
que coincide com o que queremos. Portanto
\Phi(x,y)=e^{3x}\bigl(x^{3}y+y^{2}\bigr)+h(y).
Passo 8
Agora impomos a segunda condição exata: \partial \Phi/\partial y=\tilde N. Calculemos \partial \Phi/\partial y:
A solução geral implícita da EDO exata (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=C,
ou seja
e^{3x}\bigl(x^{3}y+y^{2}\bigr)=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos também escrever fatorando y:
e^{3x}\,y\bigl(x^{3}+y\bigr)=C.
Essa é a solução geral implícita da EDO dada. Se for necessário, poderíamos tentar resolver para y explicitamente, mas isso leva a uma equação quadrática em y num fator com exponencial em x; na maioria dos contextos a forma implícita acima é a resposta aceitável.
Resposta
(a) A equação não é exata; um fator integrante adequado é \mu(x)=e^{3x}.
(b) A solução geral (implícita) é \;e^{3x}\bigl(x^{3}y+y^{2}\bigr)=C.