Questāo:(20 pontos) Resolva a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea e fornecer a solução geral:
Informações dadas importantes:
- É uma equação linear com coeficientes constantes.
- O lado direito é da forma
, com e (polinômio de grau ). - O objetivo é encontrar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
Vamos calcular as raízes. A fórmula de Bhaskara dá
Quando a raíz é complexa
com
e
, a solução geral da homogênea é
Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um palpite para a solução particular
(método dos coeficientes a determinar).
Regra (explicada): se o segundo membro tem a forma
(onde
é polinômio de grau
), tentamos um palpite da forma
, com
polinômio de grau
, multiplicado por
se
for raiz da equação característica de multiplicidade
. Aqui
e
tem grau
, então tentamos
a menos que
fosse raiz (com multiplicidade
) da característica. Mas já vimos que
não é raiz da equação característica (as raízes foram
, e
não é raiz real), então não precisamos multiplicar por nenhum fator extra
. Portanto o palpite acima é adequado.
Passo 4
Calcular
e
passo a passo (mostrando as contas):
Defina
, assim
.
Primeira derivada:
Como
, temos
Segunda derivada:
Mas
e
. Usando forma mais direta (derivando
com
):
Aqui
, então
Recapitulando as expressões:
Passo 5
Substituir
,
e
na equação diferencial e igualar coeficientes.
A equação linear é
. Substituindo as expressões obtidas e fatorando
:
Agora somamos termo a termo. Coeficiente de
:
Termo constante:
Logo o lado esquerdo dá
Esse resultado deve ser igual ao lado direito
. Assim
Igualando coeficientes do polinômio em
:
Passo 6
Construir a solução particular e a solução geral.
Com
e
obtemos a solução particular
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
Podemos fatorar
se quisermos: