1^{\text {a }} Questāo:(20 pontos) Resolva a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar.
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=(8 t-4) e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea e fornecer a solução geral:
y'' + 2y' + 5y = (8t - 4)e^{-t}.
Informações dadas importantes:
  • É uma equação linear com coeficientes constantes.
  • O lado direito é da forma e^{\alpha t}P(t), com \alpha = -1 e P(t)=8t-4 (polinômio de grau 1).
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(t), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada:
y'' + 2y' + 5y = 0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2 + 2r + 5 = 0.
Vamos calcular as raízes. A fórmula de Bhaskara dá
r = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4\cdot1\cdot5}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i.
Quando a raíz é complexa r = \alpha \pm i\beta com \alpha = -1 e \beta = 2, a solução geral da homogênea é
y_h(t) = e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\big).
Portanto
y_h(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)\big),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um palpite para a solução particular y_p (método dos coeficientes a determinar).
Regra (explicada): se o segundo membro tem a forma e^{\alpha t}P_m(t) (onde P_m é polinômio de grau m), tentamos um palpite da forma y_p(t)=e^{\alpha t}Q_m(t), com Q_m polinômio de grau m, multiplicado por t^s se \alpha for raiz da equação característica de multiplicidade s. Aqui \alpha=-1 e P(t) tem grau 1, então tentamos
y_p(t) = e^{-t}(a t + b),
a menos que \alpha=-1 fosse raiz (com multiplicidade >0) da característica. Mas já vimos que r=-1 não é raiz da equação característica (as raízes foram -1\pm2i, e r=-1 não é raiz real), então não precisamos multiplicar por nenhum fator extra t^s. Portanto o palpite acima é adequado.

Passo 4

Calcular y_p' e y_p'' passo a passo (mostrando as contas):
Defina u(t)=a t + b, assim y_p = e^{-t}u(t).
Primeira derivada:
y_p' = (e^{-t})'u(t) + e^{-t}u'(t) = -e^{-t}u(t) + e^{-t}u'(t) = e^{-t}\big(u'(t)-u(t)\big).
Como u'(t)=a, temos
y_p' = e^{-t}\big(a - (a t + b)\big) = e^{-t}\big(-a t + (a - b)\big).
Segunda derivada:
y_p'' = (e^{-t})'\big(u'(t)-u(t)\big) + e^{-t}\big(u''(t)-u'(t)\big).
Mas u''(t)=0 e u'(t)=a. Usando forma mais direta (derivando y_p' = e^{-t}v(t) com v(t)=-a t + (a-b)):
y_p'' = e^{-t}\big(v'(t) - v(t)\big).
Aqui v'(t) = -a, então
y_p'' = e^{-t}\big(-a - (-a t + a - b)\big) = e^{-t}\big(a t + (-2a + b)\big).
Recapitulando as expressões:
y_p = e^{-t}(a t + b),
y_p' = e^{-t}\big(-a t + (a - b)\big),
y_p'' = e^{-t}\big(a t + (-2a + b)\big).

Passo 5

Substituir y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial e igualar coeficientes.
A equação linear é y''+2y'+5y = (8t-4)e^{-t}. Substituindo as expressões obtidas e fatorando e^{-t}:
y_p'' + 2y_p' + 5y_p = e^{-t}\Big( (a t + (-2a+b)) + 2(-a t + (a-b)) + 5(a t + b)\Big).
Agora somamos termo a termo. Coeficiente de t:
a + 2(-a) + 5a = a - 2a + 5a = 4a.
Termo constante:
(-2a + b) + 2(a - b) + 5b = -2a + b + 2a - 2b + 5b = 4b.
Logo o lado esquerdo dá
y_p'' + 2y_p' + 5y_p = e^{-t}\big(4a t + 4b\big) = 4e^{-t}(a t + b).
Esse resultado deve ser igual ao lado direito (8t-4)e^{-t}. Assim
4(a t + b) = 8t - 4.
Igualando coeficientes do polinômio em t:
4a = 8 \quad\Rightarrow\quad a = 2,
4b = -4 \quad\Rightarrow\quad b = -1.

Passo 6

Construir a solução particular e a solução geral.
Com a=2 e b=-1 obtemos a solução particular
y_p(t) = e^{-t}(2t - 1).
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t)\big) + e^{-t}(2t - 1).
Podemos fatorar e^{-t} se quisermos:
y(t) = e^{-t}\big(C_1\cos(2t) + C_2\sin(2t) + 2t - 1\big).

Resposta

y(t)=e^{-t}\big(C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+2t-1\big)

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