Uma escala X, com origem no zero absoluto, assinala 200^{\circ} \mathrm{X} no ponto do gelo. Quanto indicará a 546 K ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • A escala X tem origem no zero absoluto, ou seja, \,0\\ \text{K} corresponde a 0^\circ\mathrm{X}.
  • No ponto do gelo (ponto de fusão do gelo) a escala X assinala 200^\circ\mathrm{X}.
  • Pergunta: quanto a escala X indicará quando a temperatura for 546\\ \text{K}?
Informações numéricas que vou usar:
  • Temperatura do gelo (ponto de fusão da água) como referência: normalmente usa-se \,T_{\text{gelo}}=273{,}15\\ \text{K}. (Em exercícios simples às vezes toma-se 273\\ \text{K} por aproximação; explico a diferença nos passos seguintes.)

Passo 2

Modelo matemático e por que ele vale: como a escala X tem origem no zero absoluto, a relação entre a indicação na escala X e a temperatura absoluta em kelvin é linear e sem deslocamento; isto é, existe uma constante de proporcionalidade a tal que
T_X = a\,T_{\text{K}}.
Aqui:
  • T_X é a leitura na escala X (em graus ^{\circ}\mathrm{X}),
  • T_{\text{K}} é a temperatura em kelvin,
  • a é a constante que diz quantos graus ^{\circ}\mathrm{X} correspondem a 1\\ \text{K}.
Explicação curta: qualquer escala que começa em zero absoluto e é “uniforme” (mesmo espaçamento entre graus) é proporcional à escala Kelvin — só muda o fator multiplicativo.

Passo 3

Determinar a constante a usando o dado do ponto do gelo. Pelo enunciado, para T_{\text{gelo}}=273{,}15\\ \text{K} tem-se T_X=200^\circ\mathrm{X}. Então
200 = a\cdot 273{,}15.
Isolando a:
a = \frac{200}{273{,}15}.
Interpretação: cada kelvin vale \dfrac{200}{273{,}15} graus ^{\circ}\mathrm{X}.

Passo 4

Calcular a leitura T_X para T_{\text{K}}=546\\ \text{K}. Usando T_X=a\,T_{\text{K}} e o a encontrado:
T_X = \frac{200}{273{,}15}\cdot 546.
Fazendo a conta passo a passo:
\frac{546}{273{,}15}\approx 1{,}9989018\quad\Rightarrow\quad T_X \approx 200\times 1{,}9989018 \approx 399{,}78.
Portanto, com referência precisa 273{,}15\\ \text{K}, a leitura é aproximadamente 399{,}78^\circ\mathrm{X}.
Observação útil (atitude prática para prova): se o exercício usa a aproximação T_{\text{gelo}}=273\\ \text{K} (muito comum em questões rápidas), então \dfrac{200}{273}\cdot 546 = 200\cdot\dfrac{546}{273}=200\cdot 2 = 400^\circ\mathrm{X}. Ou seja, com a aproximação 273\\ \text{K} obtém-se exatamente 400^\circ\mathrm{X}. A diferença entre as duas respostas é muito pequena ( \sim 0{,}22^\circ\mathrm{X}).

Passo 5

Verificação qualitativa rápida: como 546\\ \text{K} é aproximadamente o dobro de 273{,}15\\ \text{K}, a leitura em X deve ficar aproximadamente o dobro de 200^\circ\mathrm{X}, isto é, cerca de 400^\circ\mathrm{X}. A conta precisa deu 399{,}78^\circ\mathrm{X}, coerente com a expectativa.

Resposta

399{,}78^\circ\mathrm{X}

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