Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
& x+y+z+t=1 & 2 x-y+z=2 &-x+y-z-t=0 & 2 x+2 z+t=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas usando a regra de Cramer. O conteúdo aqui é determinante de matriz 4times 4 e aplicação direta da fórmula
xi = det(Ai)det(A),
onde A é a matriz dos coeficientes e Ai é obtida trocando a i-ésima coluna de A pelo vetor dos termos independentes.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes A e o vetor coluna b:
A = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 0 -1 & 1 & -1 & -1 2 & 0 & 2 & 1 , b = 1201
Para calcular det(A), aplicamos eliminação de Gauss (sem trocar linhas, apenas linhas tolinha -múltiplo de outra) e obtemos no fim um fator multiplicativo 1 na primeira pivô e a submatriz 3times 3 com determinante -2. Logo
det(A) = -2

Passo 3

Substituímos a coluna de x por b para obter Ax:
Ax = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & -1 1 & 0 & 2 & 1
Aplicando eliminação de Gauss análoga, chega-se a det(Ax) = -4. Portanto
x = det(Ax)det(A) = -4-2 = 2

Passo 4

Substituímos a coluna de y por b para obter Ay:
Ay = 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 1 & 0 -1 & 0 & -1 & -1 2 & 1 & 2 & 1
Com eliminação, encontra-se det(Ay) = -1. Logo
y = det(Ay)det(A) = -1-2 = tfrac12

Passo 5

Substituímos a coluna de z por b para obter Az:
Az = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 2 & 0 -1 & 1 & 0 & -1 2 & 0 & 1 & 1
Após eliminação, obtemos det(Az)=3. Portanto
z = det(Az)det(A) = 3-2 = -tfrac32

Passo 6

Substituímos a coluna de t por b para obter At:
At = 1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 2 -1 & 1 & -1 & 0 2 & 0 & 2 & 1
A eliminação mostra det(At)=0. Logo
t = det(At)det(A) = 0

Resposta

x = 2, y = tfrac12, z = -tfrac32, t = 0.

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